Esercizio studio della funzione 3

In questo esercizio studio la funzione

$$ f(x)=\frac{x^2+2}{x} $$

Dominio

La funzione è definita in tutto l'insieme dei numeri reali tranne nel punto x=0, dove si annulla il denominatore della frazione.

$$ D_f = (-\infty, 0) \cup (0, \infty) $$

Punti indefiniti

Il punto x=0 è un punto indefinito dove potrebbe esserci un asintoto verticale.

Calcolo il limite destro e sinistro.

$$ \lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{x^2+2}{x} = + \infty $$

$$ \lim_{x \rightarrow 0^-} \frac{x^2+2}{x} = - \infty $$

Nel intorno x=0 la funzione tende a +∞ a destra e a -∞ a sinistra.

l'asintoto verticale in x=0

Asintoti orizzontali

Ora studio il comportamento asintotico della funzione per x→+∞ e x→-∞

$$ \lim_{x \rightarrow + \infty} \frac{x^2+2}{x} = + \infty $$

$$ \lim_{x \rightarrow - \infty} \frac{x^2+2}{x} = - \infty $$

La funzione tende a +∞ per x→+∞ e a -∞ per x→-∞.

la funzione tende a + infinito a destra e a - infinito a sinistra

Le intercette con gli assi

Per x=0 la funzione ha un punto indefinito.

$$ f(0) = \frac{0^2+2}{0} $$

L'intercetta con l'asse verticale si verifica in y=0

$$ \frac{x^2+2}{x} = 0 $$

Moltiplico per x entrambi i membri

$$ \frac{x^2+2}{x} \cdot x = 0 \cdot x $$

$$ x^2 +2 = 0 $$

$$ x^2 = -2 $$

L'equazione di 2° grado non ha soluzioni reali.

Quindi, la funzione non interseca l'asse delle ordinate y.

Lo studio del segno

La funzione è negativa nell'intervallo (-∞,0) e positiva nell'intervallo (0,∞).

lo studio del segno

Questo mi permette di eliminare alcune aree del piano cartesiano in cui la funzione non passa (aree in grigio).

la funzione non passa nelle aree in grigio

Crescenza e decrescenza

Calcolo la derivata prima della funzione per studiare la crescenza e la decrescenza della funzione.

$$ f'(x) = D[ \frac{x^2+2}{x} ] = \frac{2x \cdot x - (x^2+2) }{x^2} = \frac{2x^2-x^2-2}{x^2} = \frac{x^2-2}{x^2} $$

Studio il segno della derivata prima

lo studio del segno

La funzione è crescente nell'intervallo (-∞,-√2) e (√2,∞).

E' decrescente nell'intervallo (-√2,√2)

la crescenza e decrescenza della funzione

Nel punto x=-√2 si presenta un minimo locale, perché in x=-√2 la derivata prima è nulla f'(x)=0 e nell'intorno di x=-√2 la derivata prima crescente a sinistra e decrescente a destra.

Il punto di minimo locale è

$$ (-2, f(-\sqrt{2})) = (-2, \frac{x^2+2}{x}) = (-2, \frac{(-\sqrt{2})^2+2}{-\sqrt{2}}) = (-2,-\frac{4}{\sqrt{2}}) $$

Nel punto x=2 si presenta un massimo locale, perché in x=√2 la derivata prima è nulla f'(x)=0 e nell'intorno di x=2 la derivata prima decrescente a sinistra e crescente a destra.

Il punto di massimo locale è

$$ (2, f(\sqrt{2})) = (2, \frac{x^2+2}{x}) = (2, \frac{(\sqrt{2})^2+2}{\sqrt{2}}) = (2,\frac{4}{\sqrt{2}}) $$

Concavità e convessità

Calcolo la derivata seconda della funzione per studiare i tratti in cui è concava o convessa.

$$ f''(x) = D'[\frac{x^2-2}{x^2}] = $$

$$ = \frac{2x(x^2)-(x^2-2)(2x)}{x^4} $$

$$ = \frac{2x^3-2x^3+4x}{x^4} $$

$$ = \frac{4x}{x^4} $$

$$ = \frac{4}{x^3} $$

La funzione è concava nell'intervallo (-∞, 0) e convessa nell'intervallo (0,∞).

lo studio della concavità e della convessità

Il grafico della funzione assume questo aspetto.

il grafico della funzione

Asintoto obliquo

Verifico la presenza di un eventuale asintoto obliquo.

$$ m = \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{\frac{x^2+2}{x}}{x} = \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{x^2+2}{x^2} = 1 $$

Il coefficiente angolare m è diverso da ∞ quindi posso calcolare q

$$ q = \lim_{x \rightarrow +\infty} f(x)-mx = \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{x^2+2}{x}-x = \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{2}{x} = 0 $$

Entrambi i limiti sono finiti, quindi c'è un asintoto obliquo per x→∞

L'equazione della retta è mx+q ossia x

l'asintoto obliquo

Ora verifico l'asintoto obliquo per x→-∞

$$ m = \lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{\frac{x^2+2}{x}}{x} = \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{x^2+2}{x^2} = 1 $$

Il coefficiente angolare m è diverso da ∞ quindi posso calcolare q

$$ q = \lim_{x \rightarrow -\infty} f(x)-mx = \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{x^2+2}{x}-x = \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{2}{x} = 0 $$

Entrambi i limiti sono finiti, quindi c'è un asintoto obliquo per x→-∞

L'equazione della retta è mx+q ossia x

l'asintoto obliquo

E così via.

 


 

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