Esercizio studio di funzione 9
Devo studiare la funzione
$$ f(x) = \sqrt{x^2-16} $$
Studio la funzione con gli strumenti dell'analisi matematica
Campo di definizione
La funzione è definita quando il radicando è non negativo
$$ x^2 - 16 \ge 0 $$
$$ x^2 \ge 16 $$
Applico la proprietà invariantiva calcolando la radice quadrata di entrambi i membri
$$ \sqrt{x^2} \ge \sqrt{16} $$
$$ x \ge \pm 4 $$
$$ x = \begin{cases} x \ge 4 \\ \\ x \le -4 \end{cases} $$
Quindi, la funzione è definita negli intervalli (-∞,-4) e (4,∞)
$$ D_f = (- \infty, -4) \cup (4, \infty) $$
Comincio a costruire il grafico sul diagramma cartesiano eliminando l'intervallo (-4,4) in cui la funzione non è definita.
Le intercette
La funzione non ha un'intercetta con l'asse y perché non è definita in x=0.
Per verificare se esiste l'intercetta con l'asse x devo risolvere l'equazione
$$ y = 0 $$
Sapendo che y=√(x2-16)
$$ \sqrt{x^2-16} = 0 $$
Per la proprietà invariantiva elevo entrambi i membri al quadrato
$$ (\sqrt{x^2-16})^2 = 0^2 $$
$$ x^2 - 16 = 0 $$
$$ x^2 = 16 $$
Per la proprietà invariantiva calcolo la radice quadrata di entrambi i membri.
$$ \sqrt{ x^2 } = \sqrt{ 16 } $$
$$ x = \pm 4 $$
Quindi, la funzione ha due intercette y=0 con l'asse orizzontale delle ascisse in x=4 e x=-4 ossia nei punti (4;0) e (-4;0) del piano cartesiano.
Studio del segno
La funzione è sempre positiva nel suo campo di definizione.
Quindi, posso eliminare dal diagramma il III e il IV quadrante perché di sicuro il grafico della funzione non vi passa.
Comportamento asintotico
Per studiare il comportamento asintotico della funzione calcolo il limite per x che tende a più infinito e a meno infinito.
/data/andreamininiorg/esercizio-studio-di-funzione-9-am-7.gif$$ \lim_{x \rightarrow \infty } \sqrt{x^2-16} = \infty $$
$$ \lim_{x \rightarrow -\infty } \sqrt{x^2-16} = \infty $$
In entrambi i casi la funzione tende a infinito.
Crescenza e decrescenza
Calcolo la derivata prima della funzione
$$ f'(x) = D_x [ \sqrt{x^2-16} ] = \frac{1}{2 \sqrt{x^2-16}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2-16}} $$
Poi studio il segno della derivata prima.
La derivata prima è negativa nell'intervallo (-∞,-4) e positiva nell'intervallo (4,∞)
Quindi la funzione è decrescente nell'intervallo (-∞,-4) e crescente nell'intervallo (4,∞)
Massimo e minimo locali
La derivata prima non si annulla mai nel campo di definizione della funzione.
Quindi, non ci sono punti di minimo o massimo locali in cui f'(x)=0.
Convessità e concavità
Calcolo la derivata seconda della funzione
$$ f''(x) = D_x [ \frac{x}{\sqrt{x^2-16}} ] = \frac{D_x[ x ] \cdot \sqrt{x^2-16} - x \cdot D_x[ \sqrt{x^2-16} ] }{ ( \sqrt{x^2-16} )^2} $$
$$ f''(x) = \frac{1 \cdot \sqrt{x^2-16} - x \cdot \frac{2x}{2\sqrt{x^2-16}} }{ ( \sqrt{x^2-16} )^2 } $$
$$ f''(x) = \frac{1 \cdot \sqrt{x^2-16} - \frac{x^2}{\sqrt{x^2-16}} }{ x^2-16} $$
$$ f''(x) = \frac{ \frac{\sqrt{x^2-16} \cdot \sqrt{x^2-16} - x^2}{\sqrt{x^2-16}} }{ x^2-16 } $$
$$ f''(x) = \frac{ \frac{x^2-16 - x^2}{\sqrt{x^2-16}} }{ x^2-16 } $$
$$ f''(x) = \frac{ \frac{-16}{\sqrt{x^2-16}} }{ x^2-16 } $$
$$ f''(x) = \frac{-16}{(x^2-16) \cdot \sqrt{x^2-16}} $$
Poi studio il segno della derivata seconda
La derivata seconda è negativa in tutto il campo di definizione della funzione.
Quindi, la funzione f(x) è concava sia nell'intervallo (-∞,-4) che nell'intervallo (4,∞)
E così via.