Esercizio studio di funzione 9

Devo studiare la funzione

$$ f(x) = \sqrt{x^2-16} $$

Studio la funzione con gli strumenti dell'analisi matematica

Campo di definizione

La funzione è definita quando il radicando è non negativo

$$ x^2 - 16 \ge 0 $$

$$ x^2 \ge 16 $$

Applico la proprietà invariantiva calcolando la radice quadrata di entrambi i membri

$$ \sqrt{x^2} \ge \sqrt{16} $$

$$ x \ge \pm 4 $$

$$ x = \begin{cases} x \ge 4 \\ \\ x \le -4 \end{cases} $$

Quindi, la funzione è definita negli intervalli (-∞,-4) e (4,∞)

$$ D_f = (- \infty, -4) \cup (4, \infty) $$

Comincio a costruire il grafico sul diagramma cartesiano eliminando l'intervallo (-4,4) in cui la funzione non è definita.

la funzione non è definita in (-4,4)

Le intercette

La funzione non ha un'intercetta con l'asse y perché non è definita in x=0.

Per verificare se esiste l'intercetta con l'asse x devo risolvere l'equazione

$$ y = 0 $$

Sapendo che y=√(x2-16)

$$ \sqrt{x^2-16} = 0 $$

Per la proprietà invariantiva elevo entrambi i membri al quadrato

$$ (\sqrt{x^2-16})^2 = 0^2 $$

$$ x^2 - 16 = 0 $$

$$ x^2 = 16 $$

Per la proprietà invariantiva calcolo la radice quadrata di entrambi i membri.

$$ \sqrt{ x^2 } = \sqrt{ 16 } $$

$$ x = \pm 4 $$

Quindi, la funzione ha due intercette y=0 con l'asse orizzontale delle ascisse in x=4 e x=-4 ossia nei punti (4;0) e (-4;0) del piano cartesiano.

Studio del segno

La funzione è sempre positiva nel suo campo di definizione.

lo studio del segno della funzione

Quindi, posso eliminare dal diagramma il III e il IV quadrante perché di sicuro il grafico della funzione non vi passa.

la funzione è sempre positiva

Comportamento asintotico

Per studiare il comportamento asintotico della funzione calcolo il limite per x che tende a più infinito e a meno infinito.

/data/andreamininiorg/esercizio-studio-di-funzione-9-am-7.gif$$ \lim_{x \rightarrow \infty } \sqrt{x^2-16} = \infty $$

$$ \lim_{x \rightarrow -\infty } \sqrt{x^2-16} = \infty $$

In entrambi i casi la funzione tende a infinito.

la funzione tende asintoticamente a infinito

Crescenza e decrescenza

Calcolo la derivata prima della funzione

$$ f'(x) = D_x [ \sqrt{x^2-16} ] = \frac{1}{2 \sqrt{x^2-16}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2-16}} $$

Poi studio il segno della derivata prima.

lo studio del segno della derivata prima

La derivata prima è negativa nell'intervallo (-∞,-4) e positiva nell'intervallo (4,∞)

Quindi la funzione è decrescente nell'intervallo (-∞,-4) e crescente nell'intervallo (4,∞)

la funzione è decrescente fino a x=-4 e crescente dopo x=4

Massimo e minimo locali

La derivata prima non si annulla mai nel campo di definizione della funzione.

Quindi, non ci sono punti di minimo o massimo locali in cui f'(x)=0.

Convessità e concavità

Calcolo la derivata seconda della funzione

$$ f''(x) = D_x [ \frac{x}{\sqrt{x^2-16}} ] = \frac{D_x[ x ] \cdot \sqrt{x^2-16} - x \cdot D_x[ \sqrt{x^2-16} ] }{ ( \sqrt{x^2-16} )^2} $$

$$ f''(x) = \frac{1 \cdot \sqrt{x^2-16} - x \cdot \frac{2x}{2\sqrt{x^2-16}} }{ ( \sqrt{x^2-16} )^2 } $$

$$ f''(x) = \frac{1 \cdot \sqrt{x^2-16} - \frac{x^2}{\sqrt{x^2-16}} }{ x^2-16} $$

$$ f''(x) = \frac{ \frac{\sqrt{x^2-16} \cdot \sqrt{x^2-16} - x^2}{\sqrt{x^2-16}} }{ x^2-16 } $$

$$ f''(x) = \frac{ \frac{x^2-16 - x^2}{\sqrt{x^2-16}} }{ x^2-16 } $$

$$ f''(x) = \frac{ \frac{-16}{\sqrt{x^2-16}} }{ x^2-16 } $$

$$ f''(x) = \frac{-16}{(x^2-16) \cdot \sqrt{x^2-16}} $$

Poi studio il segno della derivata seconda

La derivata seconda è negativa in tutto il campo di definizione della funzione.

la funzione è sempre concava

Quindi, la funzione f(x) è concava sia nell'intervallo (-∞,-4) che nell'intervallo (4,∞)

il grafico della funzione

E così via.

 


 

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