[Esercizio] Induzione matematica sulla serie 1/n(n+1)=n/(n+1)

Devo dimostrare il risultato della seguente serie numerica con il principio di induzione $$ \sum \frac{1}{n(n+1)} = \frac{n}{n+1} $$

La serie numerica è composta dai seguenti n termini

$$ s_n = \sum \frac{1}{n(n+1)} $$

$$ s_n = \frac{1}{1 \cdot 2} + ... + \frac{1}{n(n+1)} $$

La soluzione

La base

Verifico se la base è vera per n=1.

$$ P(1) \: : \: \frac{1}{1 \cdot 2} = \frac {1}{1(1+1)} $$

$$ P(1) \: : \: \frac{1}{2} = \frac {1}{2} $$

La base è vera. Quindi, posso continuare a utilizzare il principio di induzione.

L'ipotesi

Per ipotesi considero vera la seguente proposizione P(n)

$$ P(n) \: : \: \frac{1}{1 \cdot 2} + ... + \frac{1}{n(n+1)} = \frac{n}{n+1} $$

Il passo induttivo

A questo punto devo verificare se anche il passo induttivo P(n+1) è vero.

$$ P(n+1) \: : \: \frac{1}{1 \cdot 2} + ... + \frac{1}{n(n+1)}+\frac{1}{(n+1)((n+1)+1)} = \frac{(n+1)}{(n+1)+1} $$

Svolgo qualche calcolo algebrico

$$ P(n+1) \: : \: \frac{1}{1 \cdot 2} + ... + \frac{1}{n(n+1)}+\frac{1}{(n+1)(n+2)} = \frac{n+1}{n+2} $$

$$ P(n+1) \: : \: \frac{1}{1 \cdot 2} + ... + \frac{1}{n(n+1)} = \frac{n+1}{n+2} - \frac{1}{(n+1)(n+2)} $$

$$ P(n+1) \: : \: \frac{1}{1 \cdot 2} + ... + \frac{1}{n(n+1)} = \frac{(n+1)(n+1)-1 }{(n+1)(n+2)} $$

$$ P(n+1) \: : \: \frac{1}{1 \cdot 2} + ... + \frac{1}{n(n+1)} = \frac{(n^2+n+n+1)-1 }{(n+1)(n+2)} $$

$$ P(n+1) \: : \: \frac{1}{1 \cdot 2} + ... + \frac{1}{n(n+1)} = \frac{n^2+2n }{(n+1)(n+2)} $$

$$ P(n+1) \: : \: \frac{1}{1 \cdot 2} + ... + \frac{1}{n(n+1)} = \frac{n(n+2) }{(n+1)(n+2)} $$

$$ P(n+1) \: : \: \frac{1}{1 \cdot 2} + ... + \frac{1}{n(n+1)} = \frac{n}{n+1} $$

Il passo induttivo P(n+1) è vero perché è uguale all'ipotesi P(n).

Secondo il principio di induzione, se il passo induttivo è vero, anche l'affermazione iniziale è vera.

$$ (1+x)^n \ge 1+nx $$

E così via.