[Esercizio] principio di induzione 1
Devo dimostrare la seguente proposizione con il principio di induzione matematica. $$ 0 \le x <z \Rightarrow x^n < z^n $$
La soluzione
La base induttiva
Verifico la base induttiva della proposizione per n=1.
$$ P(1) : \le x < z \Rightarrow x^1 < z^1 $$
La base induttiva è soddisfatta per n=1. Quindi, posso procedere con la dimostrazione.
L'ipotesi
Per ipotesi considero vera la proposizione P(n).
$$ P(n) : 0 \le x < z \Rightarrow x^n < z^n $$
Il passo induttivo
Per il principio di induzione se anche il passo induttivo P(n+1) è vero, l'ipotesi P(n) è confermata.
Verifico la proposizione P(n+1)
$$ P(n+1) : 0 \le x < z \Rightarrow x^{n+1} < z^{n+1} $$
Con un semplice passaggio algebrico la diseguaglianza diventa
$$ P(n+1) : 0 \le x < z \Rightarrow x \cdot x^n < z \cdot z^n $$
Questa disequazione è soddisfatta perché
- x<z è vera per la base
- xn<zn è vera perché l'ipotesi la considero vera
Essendo x<z e xn<zn anche il prodotto membro a membro è vero x·xn<z·zn
Pertanto, il passo induttivo P(n+1) è vero.
Di conseguenza anche l'ipotesi P(n) è vera.
E così via.
