[Esercizio] induzione matematica (1+x)^n ≥ 1+nx
Devo dimostrare la diseguaglianza di Bernoulli con il principio di induzione matematica $$ (1+x)^n \ge 1+nx \:\:\:\: \forall n>0$$
Dove n è un numero naturale maggiore di zero.
La base
Verifico se la base è vera per n=1.
$$ P(1) \: : \: (1+x)^1 \ge 1+1 \cdot x $$
$$ P(1) \: : \: (1+x) \ge 1+x $$
La base è vera. Quindi, posso continuare a usare il principio di induzione.
L'ipotesi
Per ipotesi considero vera la proposizione P(n)
$$ P(n) \: : \: (1+x)^n \ge 1+nx $$
Il passo induttivo
Verifico se anche il passo induttivo P(n+1) è vero.
$$ P(n+1) \: : \: (1+x)^{n+1} \ge 1+(n+1)x $$
Con un semplice passaggio algebrico
$$ P(n+1) \: : \: (1+x) \cdot (1+x)^n \ge 1+nx+x $$
$$ P(n+1) \: : \: (1+x) \cdot (1+x)^n \ge (1+nx)+x $$
In base all'ipotesi la componente (1+x)n è maggiore uguale di (1+nx).
$$ (1+x)^n \ge (1+nx) $$
In questo caso (1+x)n è moltiplicato per (1+x).
Per verificare se (1+x)(1+x)n è maggiore uguale anche di (1+(n+1)x) moltiplico entrambi i membri per (1+x).
$$ (1+x)^n \ge (1+nx) $$
$$ (1+x) \cdot (1+x)^n \ge (1+x) \cdot (1+nx) $$
$$ (1+x)^{n+1} \ge 1+nx+x+nx^2 $$
$$ (1+x)^{n+1} \ge 1+x(1+n)+nx^2 $$
L'ultimo termine a destra è sempre positivo perché x è elevato alla seconda e n è un numero naturale.
Quindi se nx2 è sempre positivo allora anche la diseguaglianza senza nx2 è vera.
$$ (1+x)^{n+1} \ge 1+x(1+n) $$
E questo conferma la veridicità del passo induttivo P(n+1).
Secondo il principio di induzione, se il passo induttivo è vero, anche la proposizione iniziale è vera.
$$ P(n) \: : \: (1+x)^n \ge 1+nx \:\:\:\: \forall n>0$$
E così via.
