[Esercizio] induzione matematica n(n+1)/n
Devo dimostrare la seguente formula tramite il principio di induzione matematica. $$ 1+2+...+n-1+n = \frac{n(n+1)}{2} $$
Questa formula calcola il risultato della serie numerica sn
$$ s_n = \sum_{1}^{n} x = \frac{n(n+1)}{2} $$
La soluzione
La base
Verifico se la base induttiva è vera per n=1.
$$ P(1) \: : \:1 = \frac{1(1+1)}{2} $$
$$ P(1) \: : \:1 = 1 $$
La base è vera. Quindi, posso procedere con la dimostrazione per induzione.
L'ipotesi
Considero vera per ipotesi la proposizione P(n).
$$ P(n) \: : \: 1+2+...+n-1+n = \frac{n(n+1)}{2} $$
Il passo induttivo
Ora verifico se il passo induttivo P(n+1) è vero.
$$ P(n+1) \: : \: 1+2+...+n-1+n+n+1 = \frac{(n+1)((n+1)+1)}{2} $$
$$ P(n+1) \: : \: 1+2+...+n-1+n = \frac{(n+1)(n+2)}{2} - n- 1 $$
$$ P(n+1) \: : \: 1+2+...+n-1+n = \frac{n^2+2n+n+2}{2} - n- 1 $$
$$ P(n+1) \: : \: 1+2+...+n-1+n = \frac{n(n+1)+2n+2}{2} - n- 1 $$
$$ P(n+1) \: : \: 1+2+...+n-1+n = \frac{n(n+1)}{2} + \frac{2n+2}{2} - n- 1 $$
$$ P(n+1) \: : \: 1+2+...+n-1+n = \frac{n(n+1)}{2} + n + 1 - n- 1 $$
$$ P(n+1) \: : \: 1+2+...+n-1+n = \frac{n(n+1)}{2} $$
Questo dimostra che il passo induttivo P(n+1) è vero perché eguaglia la proposizione P(n), a sua volta vera per ipotesi.
Secondo il principio di induzione matematica, se il passo induttivo P(n+1) è vero, allora anche l'ipotesi P(n) è vera.
La formula iniziale è dimostrata.
E così via.
