Principio di enumerazione
Le permutazioni sono strettamente legate al principio di enumerazione.
Se eseguo n esperimenti in cui il primo esperimento ammette n1 esiti diversi, per ognuno dei quali il secondo esperimento ammette n2 esiti diversi, e via dicendo, allora esistono $$ n_1 \cdot n_2 \cdot \ ... \ \cdot n_n $$ combinazioni di esiti degli n esperimenti.
Esempio
Riprendo l'esempio precedente in cui ho un insieme con 5 elementi
$$ X = \{ a,b,c,d,e \} $$
Il primo esperimento consiste nell'estrarre una lettera a caso. Quindi, ha n1=5 esiti possibili
Il secondo esperimento consiste nell'estrarre un'altra lettera a caso tra quelle rimanenti.
Quindi, il 2° esperimento ha n2=4 esiti possibili per ciascuno dei cinque esiti (a, b, c, d, e) dell'esperimento precedente.
Il terzo esperimento ha n3=3 esiti possibili per ciascun esito precedente
Il quarto esperimento ha n4=2 esiti possibili per ciascun esito dell'esperimento precedente
Il quinto esperimento ha n5=1 esito possibile per ciascun esito precedente perché nell'insieme è rimasta una sola lettera.
In generale, gli esperimenti ammettono 120 esiti
$$ n_1 \cdot n_2 \cdot n_3 \cdot n_4 \cdot n_5 = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120 $$
Il risultato equivale al numero di permutazioni n!=120.
Nota. Per chiarire meglio il concetto penso sia utile vedere cosa accase se l'esito del 1° esperimento fosse la lettera "a". In questo caso ci sarebbero 24 esiti possibili fino al 5° esperimento.
Poiché gli esiti del 1° esperimento sono 5 (a, b, c, d, e) lo stesso procedimento posso ripeterlo anche le altre lettere (b, c, d, e). Quindi, per ciascun esito del 1° esperimento ci sono 24 altri esiti possibili fino al 5° esperimento. $$ 5 \cdot 25 = 120 $$ Il risultato finale è sempre lo stesso.
E così via.