Algebra booleana
Cos'è l'algebra booleana
L'algebra booleana è un sistema di logica matematica a due stati, dove le variabili ( dette variabili booleane ) possono assumere solo due stati: vero (1) o falso (0).
Le leggi dell'algebra booleana sono strettamente vicini a quelle della logica e all'insiemistica.
La storia dell'algebra booleana
L'algebra booleana venne ideata dal matematico inglese George Boole nel XIX secolo.
I fondamenti dell'algebra booleana furono pubblicati da Boole nel 1854 con la pubblicazione dell'opera "An investigation of the laws of thought"
Nel XX secolo la logica booleana fu adottata da Claude Elwood Shannon per spiegare il funzionamento dei circuiti elettrici, poi elettronici e informatici.
Ad esempio, un circuito può essere acceso (on) o spento (off). Un computer elabora i dati in forma binaria con i bit tramite le porte logiche, ecc.
Il sistema numerico binario
L'algebra booleana usa il sistema numerico binario.
E' un sistema numerico composto soltanto da due simboli: zero e uno.
B := { 0, 1 }
Nella logica booleana i due simboli assumono il significato di vero (V) e falso (F).
In informatica è usata la notazione inglese true (T) e false (F).
Pertanto, secondo me è preferibile abituarsi fin dall'inizio con le abbreviazioni inglesi.
La variabile che può assumere soltanto i valori vero (1) o falso (0) è detta variabile booleana.
Le operazioni tra le variabili booleane sono dette operazioni booleane.
Le operazioni booleane
Le principali operazioni binarie della logica booleana sono la somma, il prodotto e il complemento.
- Addizione logica
La somma logica di due valori booleani è 1 se almeno uno dei due fattori è uguale a 1.
$$ \begin{array}{cr|c} x & y & x+y \\ \hline 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} $$ - Moltiplicazione logica
Il prodotto logico di due valori booleani è 1 soltanto se entrambi gli addendi sono uguali a 1.
$$ \begin{array}{cr|c} x & y & xy \\ \hline 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} $$ - Complemento logico
Il complemento logico è l'operazione di negazione del valore booleano. E' indicato con un trattino sopra la variabile.
$$ \begin{array}{c|rc} x & \overline{x} \\ \hline 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} $$
Le funzioni booleane
Si dicono funzioni booleane le funzioni con variabili booleane sia nel dominio e sia nel codominio (immagine).
f: Bn → B
Le funzioni booleane possono avere una (n=1) o più variabili booleane (n>1) nel dominio.
A sua volta anche il valore della funzione booleana è una variabile booleana.
Esempio
In questa funzione booleana sommo due variabili booleane (x+y) e lo moltiplico per x
$$ f(x,y)= (x+y)x $$
La tavola di verità della funzione booleana è la seguente:
$$ \begin{array}{cr|c} x & y & (x+y) & (x+y)x \\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{array} $$
Come si può vedere anche il valore della funzione è un valore booleano.
Le leggi dell'algebra di Boole
Le operazioni tra le variabili booleane rispondono alle seguenti leggi dell'algebra booleana.
