Identificazione dell’antitripletto tramite il tensore di Levi-Civita
Una coppia antisimmetrica di due quark equivale all’antiquark del sapore che manca. \[ ud - du \longleftrightarrow \bar s \] \[ us - su \longleftrightarrow \bar d \] \[ ds - sd \longleftrightarrow \bar u \] Dove $ u $, $ d $ e $ s $ sono rispettivamente i quark up, down, strange mentre $ \bar{u} $, $ \bar{d} $ e $ \bar{s} $ sono i relativi antiquark.
Questo risultato deriva da una regola strutturale della simmetria SU(3).
La contrazione di due quark con il tensore completamente antisimmetrico di Levi-Civita \( \varepsilon_{ijk} \) produce un oggetto che si comporta come un antiquark:
\[ \boxed{ \varepsilon_{ijk}, q^j q^k = \bar q_i } \]
Dove \( q^j, q^k \) sono due quark nella rappresentazione fondamentale SU(3).
Gli indici \( i,j,k \) possono assumere i valori \(1,2,3 \) oppure, in modo equivalente, i sapori \(u,d,s \) (up, down, strange).
Il termine \( \varepsilon_{ijk} \) è il tensore completamente antisimmetrico di Levi-Civita, che possiede tre proprietà fondamentali:
- \( \varepsilon_{ijk} = 0 \) se due indici coincidono
- \( \varepsilon_{ijk} = +1 \) per permutazioni pari di \( (u,d,s) \)
- \( \varepsilon_{ijk} = -1 \) per permutazioni dispari di \( (u,d,s) \)
Per convenzione standard si sceglie:
\[ \varepsilon_{uds} = +1 \]
Ad esempio, partendo da \( \varepsilon_{uds} = +1 \), se scambio di posto \( u \) e \( d \) ottengo \( \varepsilon_{dus} = -1 \), poiché il passaggio $ (uds) \to (dus) $ corrisponde a una sola trasposizione, cioé a una permutazione dispari. Se, invece, due indici coincidono, come in \( \varepsilon_{uus} \), il tensore si annulla: \[ \varepsilon_{uus} = 0 \]
Un esempio pratico
Nella simmetria SU(3) i sapori dei quark sono:
\[ 3 = \{ u, d, s \} \]
Combinando due quark, lo spazio degli stati è:
\[ 3 \otimes 3 \]
Complessivamente ci sono $ 3 \times 3 = 9 $ stati possibili:
$$ uu, ud, us, du, dd, ds, su, sd, ss $$
Di questi sono simmetrici quelli che non cambiano segno quando scambio di posto due qualsiasi quark, mentre sono antisimmetrici quelli che cambiano segno.
- Le coppie $ uu, dd, ss $ sono composte da quark identici. Scambiando di posto i due quark, lo stato non cambia, quindi queste coppie sono simmetriche.
- Le restanti coppie $ ud, us, du, ds, su, sd $, invece, composte da quark diversi. Se scambio i due quark in una coppia, lo stato cambia ( es. $ ud \to du $ ). Quindi, queste coppie non sono né simmetriche, né antisimettriche.
Nota. Se scambio di posto i quark nella coppia $ uu $ ottengo sempre $ uu $, è simmetrica. $$ uu \xrightarrow{\text{scambio}} uu \quad \text{(simmetrica)} $$ Se scambio di posto i quark nella coppia $ ud $ ottengo $ du $ che è un altro stato, quindi la coppia $ ud $ non è né simmetrica, né antisimettrica. $$ ud \xrightarrow{\text{scambio}} du $$
Finora ho trovato 3 coppie simmetriche ma gli stati possibili di due quark sono 9. Quindi, occorre capire come classificare gli altri 6 stati.
La simmetria non è una proprietà dei singoli stati presi isolatamente ( $ ud, du, us, ... $ ) ma può emergere anche nelle combinazioni lineari di questi stati. In altre parole, dalla somma algebrica che rende lo stato invariato dopo la permutazione.
Tuttavia, non tutte le combinazioni lineari sono simmetriche o antisimmetriche.
Ad esempio, combinazioni come $ ud + us $, $ ud - us $, $ du + su $ non restano invariate sotto lo scambio dei due quark e quindi non sono né simmetriche, né antisimmetriche. Ad esempio, se permuto i quark in $ ud+us $ ottengo uno stato diverso. $$ ud + us \xrightarrow{\text{scambio}} du + su $$ Questa combinazione non è né simmetrica, né antisimmetrica.
Tra tutte queste combinazioni possibili ci sono tre combinazioni simmetriche perché restano invariate dopo lo scambio dei due quark.
\[ ud+du \xrightarrow{\text{scambio}} du+ud = ud+du \]
\[ us+su \xrightarrow{\text{scambio}} su+us = us+su \]
\[ ds+sd \xrightarrow{\text{scambio}} sd+ds = s+sd \]
Inoltre, esistono anche tre combinazioni antisimmetriche, perché la forma dello stato resta la stessa ma cambia segno dopo lo scambio dei quark.
\[ ud-du \xrightarrow{\text{scambio}} du-ud = - (ud - du) \]
\[ us-su \xrightarrow{\text{scambio}} su-us = - (us - su) \]
\[ ds-sd \xrightarrow{\text{scambio}} sd-ds = - (ds - sd) \]
Riepilogando, ho trovato $ 6 $ stati simmetrici e 3 stati antisimmetrici che indico con $ \bar{3} $.
\[ 3 \otimes 3 = 6 \oplus \bar{3} \]
A questo punto, mi concentro sulle tre coppie antisimmetriche di quark.
Secondo la regola iniziale ogni coppia antisimmetrica di due quark si comporta come l’antiquark del sapore che manca.
\[ ud - du \longleftrightarrow \bar s \]
\[ us - su \longleftrightarrow \bar d \]
\[ ds - sd \longleftrightarrow \bar u \]
Nota. Nella coppia antisimmetrica \(ud - du\) sono presenti i quark \(u \) e \(d\), manca quindi il quark \(s \). Per questo motivo, la coppia si comporta come l’antiquark \( \bar s \). Nella coppia antisimmetrica \( us - su \) manca il quark \( d \), di conseguenza la coppia si comporta come l'antiquark \( \bar{ d } \). Infine, nella coppia antisimmetrica \( ds - sd \) manca il quark \( u \), quindi, la coppia si comporta come l'antiquark \( \bar{ u } \).
Ora bisogna dimostrarlo, prendo come esempio la coppia antisimmetrica.
\[ ud - du \]
Secondo la regola strutturale, una coppia antisimmetrica di quark equivale all'antiquark mancante
\[ \bar q_i \varepsilon_{ijk} q^j q^k \]
In questo caso, in $ ud-du $ ci sono i quark $ u $ e $ d $.
Quindi, definisco gli indici \( j=u \) e \( k=d \)
\[ \bar q_i=\varepsilon_{iud} \ q^u q^d+\varepsilon_{idu} \ q^d q^u \]
Ho scritto entrambi i termini perché nella contrazione sono presenti i contributi sia di $ ud $ che di $ du $.
Poiché \( \varepsilon \) è antisimmetrico vale la regola:
\[ \varepsilon_{idu}=-\varepsilon_{iud} \]
Quindi, posso riscrivere la formula sostituendo \( \varepsilon_{idu} \) con \( \varepsilon_{iud} \)
\[ \bar q_i=\varepsilon_{iud} \ q^u q^d - \varepsilon_{iud} \ q^d q^u \]
Poi applico la proprietà associativa
\[ \bar q_i=\varepsilon_{iud} \ (q^u q^d-q^d q^u) \]
cioè:
\[ \bar q_i=\varepsilon_{iud},(ud-du) \]
In pratica, la contrazione con \( \varepsilon \) seleziona automaticamente la combinazione antisimmetrica \(ud-du \).
Ora guardo \(\varepsilon_{iud}\). Devo capire quale sapore associare all'indice $ i $. In SU(3) i valori possibili sono \( u,d,s \):
- \( i = u \ \to \ \varepsilon_{uud}=0 \)
- \( i = d \ \to \ \varepsilon_{dud}=0 \)
- \( i = s \ \to \ \varepsilon_{sud}= \pm 1 \neq 0 \)
L'unico valore che rende il tensore \( \epsilon_{iud} \ne 0 \) diverso da zero è $ i=s $.
\[ i=s \]
Quindi, sostituendo $ i=s $ nella formula ottengo:
\[ \bar q_s=\varepsilon_{sud} \ (ud-du) \]
Sapendo che per convenzione $ \varepsilon_{uds} = +1 $, la permutazione $ (uds) \to (sud) $ è una permutazione di lunghezza 3, cioé un 3-ciclo.
Un 3-ciclo è una permutazione pari, perché può essere scritta come prodotto di due trasposizioni. Ad esempio:
$$ (uds) \to (sud) = (us)(ud) $$
Di conseguenza, essendo una permutazione pari, il tensore completamente antisimmetrico di Levi-Civita vale $ \varepsilon_{sud} = +1 $
\[ \bar q_s= \underbrace{ \varepsilon_{sud}}_{+1} \ (ud-du) \]
\[ \bar q_s= (ud-du) \]
Poiché $ \bar q_s $ è la componente $ s $ dell'antitripletto, corrisponde all'antiquark strange $ \bar s $.
\[ \bar s= (ud-du) \]
Per semplicità finora ho scritto $ \bar s= (ud-du) $ ma questa notazione non è matematicamente rigorosa, perché suggerisce un’uguaglianza letterale tra due oggetti che non sono la stessa cosa. E' più corretto scrivere:
\[ \bar s \longleftrightarrow (ud-du) \]
Questo dimostra che la coppia antisimmetrica $ ud-du $ trasforma come un antiquark strange $ \bar{s} $
Nota. Il segno preciso + o - dipende dalla convenzione su \( \varepsilon_{uds} \), ma non cambia lo stato fisico. Quindi, anche se fosse stato $ \varepsilon_{sud} = -1 $ avrei ottenuto comunque lo stesso stato fisico che differisce solo per il segno. \[ \bar q_s= - (ud-du) \] In generale, due stati che differiscono per un fattore globale non nullo (in particolare \( pm 1 \) ) rappresentano lo stesso stato fisico.
Lo stesso procedimento posso ripeterlo con le altre due coppie antisimmetriche che avevo trovato: $ us - su $ e $ ds - sd $.
\[ ud - du \longleftrightarrow \bar s \]
\[ us - su \longleftrightarrow \bar d \]
\[ ds - sd \longleftrightarrow \bar u \]
In conclusione, la parte antisimmetrica del prodotto di due quark forma una rappresentazione \( \bar 3\ = \{ \bar u, \bar d, \bar s \} \) di SU(3).
Ogni coppia antisimmetrica di due quark trasforma come l’antiquark del sapore che manca.
E così via.
