Le forze complanari non perpendicolari
La risultante di due forze F1 e F2 che hanno in comune lo stesso punto di applicazione A con un angolo α diverso da 90° si ottiene tramite il metodo del parallelogramma.
Nel metodo del parallelogramma si applica ogni vettore all'estremo dell'altro vettore.
Il punto di incontro B è l'estremo della forza risultante R=F1+F2 che ha origine nello stesso punto di applicazione A delle due forze F1 e F2.
La lunghezza del vettore (modulo) R della forza risultante ne misura l'intensità.
$$ R = \sqrt{ F_1^2 + F_2^2 + 2 \cdot F_1 \cdot F_2 \cdot \cos \alpha } $$
Dimostrazione. Date le forze concorrenti F1 e F2 non perpendicolari, considera il triangolo OBC.
Secondo il teorema del coseno (o teorema di Carnot) il quadrato della lunghezza del lato R del triangolo è uguale a $$ R^2 = F_1^2 + F_2^2 - 2 \cdot F_1 \cdot F_2 \cdot \cos \beta $$ Applicando la radice quadrata a entrambi i membri dell'equazione si ottiene $$ R = \sqrt{ F_1^2 + F_2^2 - 2 \cdot F_1 \cdot F_2 \cdot \cos \beta } $$ In questo caso però l'angolo beta è ignoto, si conosce l'angolo alfa α. Sapendo che gli angoli α e β sono angoli supplementari (α+β=180°)
Se α+β=180° sono angoli supplementari vale l'equazione gonometrica cos(β )=-cos( α) $$ R = \sqrt{ F_1^2 + F_2^2 - 2 \cdot F_1 \cdot F_2 \cdot ( -\cos \alpha } ) $$ $$ R = \sqrt{ F_1^2 + F_2^2 + 2 \cdot F_1 \cdot F_2 \cos \alpha } ) $$
I termini nella formula sono tutte grandezze scalari.
Ad esempio, F1 e F2 sono rispettivamente i moduli della prima e della seconda forza.
Nota. Se l'angolo α=90° la formula si riduce al teorema di Pitagora $$ R = \sqrt{ F_1^2 + F_2^2 + 2 \cdot F_1 \cdot F_2 \cdot \cos 90° } $$ Il coseno di 90° è nullo. $$ R = \sqrt{ F_1^2 + F_2^2 } $$
Nota. Se l'angolo α=180° la formula si riduce al caso di due forze con verso discorde $$ R = \sqrt{ F_1^2 + F_2^2 - 2 \cdot F_1 \cdot F_2 \cdot \cos 90° } $$ Il coseno di 180° è -1. $$ R = \sqrt{ F_1^2 + F_2^2 + 2 \cdot F_1 \cdot F_2 } $$ Il radicando è il quadrato di un binomio $$ \sqrt{ (F_2 - F_1)^2 } = F_2 - F_1 $$
Per ottenere gli angoli dei vettori si applica il teorema dei seni, in base al quale i lati di un triangolo sono proporzionali ai seni degli angoli opposti
$$ \frac{\overline{AD}}{\sin \gamma} = \frac{\overline{BD}}{\sin \beta} = \frac{\overline{AB}}{\sin \delta}$$
Dove il triangolo è formato dai punti ABD
