Il principio di Pascal
Il principio di Pascal stabilisce che una variazione di pressione applicata a un fluido racchiuso in un recipiente si trasmette inalterata in ogni punto del fluido e alle pareti del recipiente.
Questo principio permette di spiegare il funzionamento di dispositivi come il torchio e il sollevatore idraulico.
Ad esempio, se uno stantuffo aumenta di \(1000\ \mathrm{Pa}\) la pressione di un liquido contenuto in un recipiente chiuso, la pressione aumenta della stessa quantità in tutti i punti del liquido.
La relazione con la legge di Stevino
Per comprendere il principio di Pascal, consideriamo un liquido omogeneo in equilibrio. Secondo la legge di Stevino, la pressione a una profondità \(h\) è:
\[p=p_{\mathrm{at}}+\rho gh\]
Dove \(p_{\mathrm{at}}\) è la pressione atmosferica sulla superficie, \(\rho\) è la densità del liquido e \(g\) è l'accelerazione di gravità.
Supponiamo ora di applicare alla superficie, mediante uno stantuffo, una pressione aggiuntiva \(\Delta p\). A parità di densità e profondità, la nuova pressione diventa:
\[p'=p_{\mathrm{at}}+\Delta p+\rho gh\]
Confrontando le due espressioni, otteniamo:
\[\boxed{p'-p=\Delta p}\]
Quindi, la pressione aumenta della stessa quantità a qualsiasi profondità.
Questo non significa che la pressione totale sia uguale ovunque: i punti più profondi rimangono sottoposti a una pressione maggiore per effetto del peso del liquido. A trasmettersi inalterata è la variazione di pressione.
La verifica sperimentale
Il principio può essere verificato con un recipiente sferico pieno di liquido, dotato di uno stantuffo e di manometri collegati in punti diversi.
Premendo sullo stantuffo, si aumenta la pressione del liquido. Dopo il raggiungimento del nuovo equilibrio, tutti i manometri registrano lo stesso incremento di pressione, indipendentemente dalla loro posizione.
Se i manometri si trovano alla stessa altezza, indicano anche la stessa pressione totale. Se sono ad altezze diverse, le loro letture differiscono per il contributo idrostatico descritto dalla legge di Stevino.
Il sollevatore idraulico
Il sollevatore idraulico sfrutta il principio di Pascal per sollevare un carico mediante una forza più piccola del suo peso.
È formato da due cilindri comunicanti, riempiti di liquido e chiusi da pistoni mobili:
- il pistone più piccolo ha area \(A_1\);
- il pistone più grande ha area \(A_2\), con \(A_2>A_1\).
Consideriamo un sistema ideale, trascurando gli attriti e il peso dei pistoni, con entrambi i pistoni alla stessa altezza e sottoposti esternamente alla pressione atmosferica.
Applicando al pistone piccolo una forza \(F_1\) verso il basso, produciamo un aumento di pressione:
\[\Delta p=\frac{F_1}{A_1}\]
Dove \(A_1\) è l'area sulla quale agisce la forza. Per il principio di Pascal, lo stesso aumento di pressione raggiunge il pistone grande, generando una forza aggiuntiva verso l'alto:
\[F_2=\Delta p\,A_2\]
Sostituendo l'espressione di \(\Delta p\), otteniamo:
\[\boxed{F_2=F_1\frac{A_2}{A_1}}\]
La forza viene quindi moltiplicata per il rapporto tra le aree dei pistoni. Poiché \(A_2>A_1\), risulta \(F_2>F_1\).
Ad esempio, se il pistone grande ha un'area venti volte maggiore di quello piccolo, una forza di \(100\ \mathrm{N}\) permette di esercitare una forza di:
\[F_2=100\cdot20=2000\ \mathrm{N}\]
Per mantenere un carico in equilibrio, la forza verso l'alto deve uguagliare il suo peso; per avviarne il sollevamento deve superarlo.
Il rapporto tra forza e spostamento
Il sollevatore amplifica la forza, ma richiede uno spostamento maggiore del pistone piccolo.
Se il liquido è incomprimibile e non ci sono perdite, il volume spostato dal primo pistone deve essere uguale a quello ricevuto dal secondo:
\[A_1d_1=A_2d_2\]
Dove \(d_1\) è lo spostamento verso il basso del pistone piccolo e \(d_2\) quello verso l'alto del pistone grande. Ne segue che:
\[d_2=d_1\frac{A_1}{A_2}\]
Nel modello ideale, trascurando anche gli effetti del dislivello tra i pistoni, possiamo scrivere:
\[\boxed{d_2=d_1\frac{F_1}{F_2}}\]
Nell'esempio precedente, la forza aumenta di venti volte, mentre lo spostamento si riduce a un ventesimo: abbassando il pistone piccolo di \(20\ \mathrm{cm}\), quello grande sale di \(1\ \mathrm{cm}\).
Il dispositivo rispetta così la conservazione dell'energia. Nel caso ideale, il lavoro fornito e quello ottenuto sono uguali:
\[F_1d_1=F_2d_2\]
Nella pratica, gli attriti e le altre dissipazioni rendono il lavoro utile inferiore a quello fornito.
