Pressione atmosferica

La pressione atmosferica è la pressione esercitata dall’aria su tutte le superfici immerse nell’atmosfera, come conseguenza del peso della colonna d’aria sovrastante. Si indica con \( p_{at} \). Nel Sistema Internazionale il suo valore standard è: \[ p_{at} = 1.013 \cdot 10^5 \ \text{Pa} \] Questo valore è detto pressione atmosferica normale (o standard) e corrisponde, per convenzione, alla pressione media misurata al livello del mare.

L'unità di misura della pressione in fisica è il pascal (Pa)

$$ 1 \ Pa = 1 \  \text{N}/\text{m}^2 $$

Sapendo che la pressione atmosferica (p_at) è

\[ p_{at} = 1.013 \cdot 10^5 \ \text{Pa} \]

Poiché \( 1 \ \text{Pa} = 1 \ \text{N}/\text{m}^2 \) si può scrivere in modo approssimato

\[ p_{at} \simeq 10^5 \ \text{Pa} = 10^5 \ \text{N}/\text{m}^2 = 10 \ \text{N}/\text{cm}^2 \]

Questo risultato ha un significato immediato: su ogni centimetro quadrato agisce una forza pari a circa 10 N, cioè la forza peso di una massa di circa 1 kg.

In altre parole, la pressione atmosferica equivale al peso di una colonna d’aria di 1 kg che insiste su ogni cm² di superficie.

Altre unità di misura

L'unità di misura usata per misurare la pressione in meteorologia è l'ettopascal (hPa)

$$ 1 \ hPa = 10^2 \ Pa $$

In passato si utilizzava il bar

$$ 1 \ bar = 10^5 \ Pa $$

Di conseguenza, la pressione atmosferica normale è approssimativamente pari a 1 bar:

$$ p_{at} \approx 1 \ bar $$

La misura della pressione atmosferica. Gli strumenti utilizzati per misurare la pressione atmosferica si chiamano barometri. E' chiaro il richiamo alla vecchia unità di misura, il bar. Questi strumenti permettono di misurare la pressione dell’aria sfruttando effetti meccanici (come nel barometro a mercurio) oppure deformazioni elastiche.

Dipendenza dall’altitudine e dal tempo

La pressione atmosferica non è costante, diminuisce con l’aumentare dell’altitudine, perché sopra di noi c’è meno aria, e varia con le condizioni meteorologiche.

Il valore \( 1.013 \ \text{Pa} \) è quindi un valore di riferimento, non un valore universale.

Perché non avvertiamo la pressione atmosferica?

Pur essendo molto grande, la pressione atmosferica non viene percepita dal nostro corpo.

La ragione è una proprietà fondamentale dei fluidi in equilibrio: in un punto di un fluido, la pressione è la stessa in tutte le direzioni.

Questo significa che la pressione dell’aria esercita forze uguali e opposte su ogni superficie del nostro corpo.

Ad esempio, se stendo la mano in orizzontale, l’aria esercita una forza verso l’alto e una verso il basso di uguale intensità. Allo stesso modo se metto la mano di taglio, in verticale, agiscono forze orizzontali uguali e opposte. In ogni caso, la forza risultante è nulla. Le forze esercitate sui due lati della mano dalla pressione atmosferica sono opposte e si annullano. Per questo motivo non “sentiamo” la pressione atmosferica. 

Un esempio pratico

In questo esempio calcolo la forza esercitata dalla pressione atmosferica sul palmo della mano.

Mettiamo che, per semplicità, il palmo abbia forma rettangolare di dimensioni \( 10 \ \text{cm} \times 7 \ \text{cm} \).

Sapendo che la pressione atmosferica è

$$ p_{at} = 1.0 \cdot 10^5 \ \text{Pa} $$

e che l'area del palmo è

$$ A = 10 \cdot 7 = 70 \ \text{cm}^2 = 7.0 \cdot 10^{-3} \ \text{m}^2 $$

La forza esercitata da una pressione su una superficie è

$$ F = p \cdot A $$

Sostituendo i valori:

$$ F = (1.0 \cdot 10^5) \cdot (7.0 \cdot 10^{-3}) = 7.0 \cdot 10^2 \ \text{N} $$

$$ F \approx 700 \ \text{N} $$

Sapendo che la forza è $ F \approx 700 \ \text{N} $ e che il peso di un corpo è $ F = m \cdot a $ dove $ a=9.81 kg/N $ è l'accelerazione gravitazionale,  posso ricavare la massa equivalente:

$$  m = \frac{F}{a} $$

Sostituendo i valori

$$  m = \frac{700 \ \text{N}}{9.81 kg/N} = 71 kg $$

Quindi, questa forza è equivalente al peso di una massa di circa 71 kg. E' un peso considerevole.

Eppure la mia mano non viene schiacciata dalla pressione perché la stessa forza agisce anche sull’altro lato, in verso opposto, e le due forze si compensano. 

Questo esempio mostra chiaramente che non è il valore assoluto della pressione a determinare un effetto meccanico, ma la presenza (o meno) di una differenza di pressione tra due superfici.

Esempi

Esempio 1

Calcola la forza della pressione atmosferica sulla superficie dell'acqua in un bicchiere che ha un diametro di 10 cm.

Sapendo che la formula della pressione è:

$$ p = \frac{F}{A} $$

La forza esercitata dalla pressione atmosferica è

$$ F = p \cdot A $$

La pressione atmosferica vale circa \( p \approx 1.01 \times 10^5 \ \text{Pa} \)

$$ F = 1.01 \times 10^5 \ ( \text{Pa}) \cdot A $$

Il diametro del bicchiere è 10 cm, quindi

$$ d = 0.10 \ \text{m} $$

Di conseguenza, il raggio è

$$ r = 0.05 \ \text{m} $$

L’area della superficie circolare del bicchiere è:

$$  A = \pi r^2 = \pi \cdot (0.05)^2 $$

$$ A = \pi \cdot 0.0025 $$

$$ A \approx 0.00785 \ \text{m}^2 $$

Ora, sostituisco l'area nella formula della forza:

$$  F = 1.01 \times 10^5 ( \text{Pa}) \cdot 0.00785 (\text{m}^2) $$

$$  F = 793 \ \text{Pa} \ \text{m}^2 $$

Sapendo che $  \text{N} = \text{Pa} \cdot \text{m}^2 $

$$ F \approx 793 \ \text{N} $$

Quindi, la forza è circa 790 N.

$$ F \approx 7.9 \times 10^2 \ \text{N} $$

È equivalente, più o meno, al peso di una massa di circa 80 kg.

Nota. Sapendo che la forza è $ F=ma $ dove $ m $ è la massa e $ a=g $ è l'accelerazione gravitazionale $ g \approx 9.81 \ m/s^2 $ $$ F = 793 \ \text{N} $$ $$ m \cdot g = 793 \ \text{N} $$ $$ m = \frac{ 793 \ \text{N} }{g} $$ $$ m = \frac{ 793 \ \text{N} }{ 9.81 \ m/s^2 } $$ Poiché $ 1 \ \text{N} = 1  \ \text{kg} \cdot \text{m/s}^2 $ $$ m = \frac{ 793 \ \ \text{kg} \ \text{m/s}^2 \ }{ 9.81 \ m/s^2 } $$ $$ m = \frac{ 793 \  \text{kg}  }{ 9.81  } $$ $$ m = 80.8 \ kg $$

Esempio 2

In cima a un monte alto 1800 metri la pressione atmosferica si riduce circa del 20%. Qual è la forza esercitata dalla pressione atmosferica sul palmo di una mano che per semplicità si considera di forma rettangolare di dimensioni 8,0 cm x 10 cm.

Al livello del mare la pressione atmosferica vale circa

$$ p_0 = 1.013 \times 10^5 \ \text{Pa} $$

A 1800 m la pressione si riduce del 20%. Quindi resta l'80%:

$$ p = 0.80 \cdot p_0 $$

$$ p = 0.80 \cdot 1.013 \times 10^5 \ \text{Pa} $$

$$ p = 0.8104 \times 10^5 \ \text{Pa} $$

$$ p = 8.104 \times 10^4 \ \text{Pa} $$

L'area del palmo della mano

$$ A = 8,0 cm × 10 cm = 80 \ \text{cm}^2 $$

La converto in metri quadrati sapendo che $ 1 \ \text{cm}^2 = 10^{-4} \ \text{m}^2 $

$$ A = 80 \times 10^{-4} $$

$$ A = 8.0 \times 10^{-3} \ \text{m}^2 $$

La forza dovuta alla pressione è

$$ F = p \cdot A $$

$$ F = 8.104 \times 10^4  \ \text{Pa} \times 8.0 \times 10^{-3} \ \text{m}^2 $$

$$ F = 64.832  \times 10 \ \text{Pa} \ \text{m}^2 $$

$$ F = 6.483  \times 10^2 \ \text{Pa} \ \text{m}^2 $$

Sapendo che $ 1 \ \text{N} = \text{Pa} \ \text{m}^2 $

$$ F = 6.483  \times 10^2 \ \text{N}  $$

Quindi, la pressione atmosferica sul palmo della mano vale circa

$$ F \approx 648 \ \text{N} $$

È equivalente, più o meno, al peso di una massa di circa

$$ m = \dfrac{F}{g} = \dfrac{648}{9.81} \approx 66.1 \ \text{kg} $$

Quindi, anche a 1800 m l’aria esercita una forza notevole, anche se inferiore rispetto al livello del mare.

Il barometro di Torricelli

La pressione atmosferica è uguale alla pressione esercitata da una colonna di mercurio alta 0,760 metri, a livello del mare e in condizioni atmosferiche normali.

A partire da questa osservazione, Evangelista Torricelli costruì nel 1643 il primo barometro per misurare la pressione atmosferica.

Il barometro a mercurio consiste in un tubo di vetro cilindrico, chiuso a un'estremità e riempito con un liquido di densità ( $ d $ ), che viene poi capovolto e immerso in una vaschetta contenente lo stesso liquido.

L'estremità aperta del tubo rimane immersa nel liquido della vaschetta.

Una parte del liquido contenuto nel tubo fuoriesce, lasciando nella parte superiore della colonna uno spazio vuoto, dove la pressione può essere considerata nulla. Questo spazio è detto vuoto torricelliano.

In condizioni di equilibrio, a livello del mare, la colonna di mercurio nel tubo raggiunge un'altezza ( $ h $ ) di 0,760 metri, ossia 760 millimetri.

Qualsiasi variazione della pressione atmosferica ( $ p_{at} $ ) agisce sulla superficie del liquido nella vaschetta e provoca una variazione dell'altezza ( $ h $ ) della colonna nel tubo.

Le variazioni dell'altezza della colonna sono direttamente proporzionali alle variazioni della pressione atmosferica.

Nota. Per questa ragione, una delle unità di misura della pressione è il millimetro di mercurio (mmHg). In particolare, la pressione atmosferica standard è definita come: $$ p_{at} = 1 \ atm = 760 \ mmHg $$ Dove $ Hg $ è il simbolo chimico del mercurio, $ atm $ è l'unità di misura della pressione detta "atmosfera".

Dimostrazione

Secondo la legge di Stevino, la pressione in un liquido in equilibrio è

$$ p_h = p_{s} + dgh $$

Dove $ p_h $ è la pressione del liquido nella colonna alla profondità $ h $, $ p_s $ è la pressione sulla superficie superiore della colonna,  $ d $ è la densità del liquido, $ g $ è l'accelerazione di gravità e $ h $ è l'altezza della colonna del liquido.

In questo caso c'è uno spazio vuoto all'estremità della colonna, quindi la pressione sulla superficie superiore della colonna è approssimativamente nulla $ p_{s} = 0 $

$$ p_h = 0 + dgh = dgh $$

Nota. Dico approssimativamente perché nel vuoto torricelliano esiste una piccolissima tensione di vapore del mercurio, ma a questo livello si trascura.

Considero un punto della colonna di mercurio nel tubo alla stessa quota della superficie libera del mercurio nella vaschetta.

Poiché in un liquido in equilibrio due punti alla stessa quota hanno la stessa pressione, la pressione in quel punto $ (p_h) $ è uguale alla pressione atmosferica ( $ p_{at} $ ):

$$ p_{at} = p_h $$

Sapendo che $ p_h = dgh $ posso scrivere

$$ p_{at} = dgh $$

Il liquido nella vasca è il mercurio ( Hg ) che ha una densità nota di $ d=1.36 \cdot 10^4 \ kg/m^3 $

$$ p_{at} = (1.36 \cdot 10^4 \ kg \ m^{-3} ) \cdot gh $$

L'accelerazione di gravità media al livello del mare è $ g=9.81 \ m/s^2 $ che in forma equivalente è $ g= 9.81 \ N/kg $

$$ p_{at} = (1.36 \cdot 10^4 \ kg \ m^{-3} ) \cdot (9.81 \ N \ kg^{-1}) h $$

Semplificando i kg diventa

$$ p_{at} = (1.36 \cdot 10^4 \cdot 9.81  ) \ N \ m^{-3}  h $$

La pressione atmosferica è $ p_{at} = 1.013 \cdot 10^5 \ Pa $

$$ 1.013 \cdot 10^5 \ Pa =  (1.36 \cdot 10^4 \cdot 9.81  ) \ N \ m^{-3}  h $$

A questo punto ricavo l'altezza $ h $

$$ h = \frac{ 1.013 \cdot 10^5 \ Pa } { (1.36 \cdot 10^4 \cdot 9.81  ) \ N \ m^{-3} } $$

Semplifico il rapporto tra le potenze di 10, poiché $ \frac{10^5}{10^4} = 10^{5-4} = 10^1 $

$$ h = \frac{ 1.013 \cdot 10 \ Pa } { (1.36 \cdot 9.81  ) \ N \ m^{-3} } $$

Svolgo i calcoli $ \frac{1.013 \cdot 10}{1.36 \cdot 9.81} \approx 0.760 $

$$ h = 0.760 \ \frac{  Pa }{  N m^{-3}   } $$

Sapendo che un $ Pa = N/m^2 $ ossia $ Pa  = N m^{-2} $

$$ h = 0.760 \ \frac{ N m^{-2} }{  N m^{-3}  } $$

Semplificando i newton (N) e i metri $ \frac{m^{-2}}{m^{-3}} = m^{-2-(-3)} = m^{-2+3} = m^1 $

$$ h = 0.760 \ m $$

L'altezza della colonna è pari 0.760 metri ossia 760 millimetri, come volevasi dimostrare.

E così via.