Legge di Stevino
Nei fluidi in equilibrio la pressione aumenta con la profondità $$ p = p_{at} + d g h $$ Dove \( p \) è la pressione alla profondità ( h ), \( p_{at} \) è la pressione atmosferica, \( d \) è la densità del fluido, \( g \) è l’accelerazione di gravità, \( h \) è la profondità.
La legge di Stevino descrive la variazione della pressione nei fluidi in equilibrio.
La pressione cresce linearmente con la profondità, dipende dalla densità del fluido ed è indipendente dalla forma del recipiente
Questo accade perché la pressione è un effetto della pressione atmosferica sulla superficie del fluido e del peso stesso del fluido.
La pressione non dipende dalla forma del recipiente. La legge evidenzia un risultato fondamentale: la pressione dipende solo dalla profondità e dalla densità, non dalla forma del recipiente. Questo implica che il comportamento del fluido è indipendente dalla geometria del contenitore. Ad esempio, se prendo due recipienti: uno largo e basso, l'altro stretto e alto. Quando il livello del liquido è lo stesso ( $ h $ ), la pressione sul fondo è identica. Pertanto, conta solo l’altezza della colonna di fluido, non la quantità totale o la forma.
La pressione aumenta con la profondità perché cresce il peso del fluido sovrastante. Maggiore profondità vuole dire maggiore massa sopra. Quindi, una maggiore forza che causa una maggiore pressione.
La dimostrazione
Un fluido esercita pressione perché possiede massa e quindi peso.
In un qualsiasi punto interno al liquido la pressione è dovuta alla colonna di fluido sovrastante. Questa esercita una forza verso il basso.
Quindi, la pressione totale in un punto del fluido è determinata dalla somma di due contributi:
- la pressione atmosferica sulla superficie
- il peso del fluido sopra il punto considerato
Ad esempio, considero un cilindro di fluido con base \( A \) e altezza \( h \).
Il volume del fluido è
$$ V = A h $$
Sapendo che il volume è il rapporto tra la massa e la densità $ V = \frac{m}{d} $, deduco che la massa del fluido è
$$ m = d \cdot V = d A h $$
Infine, sapendo che il peso è il prodotto tra la massa ( $ m $ ) e la gravita ( $ g $ ) ossia $ P = m g $, il peso del fluido è
$$ P = m g = (dAh) g $$
Quindi, la forza che spinge sulla base è la somma della pressione atmosferica sulla superficie e del peso del fluido.
$$ F = p_{at} A + d A h g $$
Dividendo la forza perpendicolare verso il basso ( $ F $ ) per l’area ( $ A $ ) ottengo la pressione interna del recipiente \( p = \frac{F}{A} \):
$$ \frac{F}{A} = \frac{ p_{at} A + d A h g}{A} $$
$$ p = \frac{F}{A} = p_{at} + d g h $$
Come volevasi dimostrare
Esempio pratico
Un subacqueo che scende in acqua avverte un aumento della pressione.
Indicativamente, ogni 10 metri la pressione aumenta di circa \( +1 \) atmosfera ( \( atm \) ).
Sulla superficie dell'acqua la pressione è pari a 1 atmosfera \( 1 \ atm \) perché questa è la pressione atmosferica, cioè la pressione esercitata dall’aria sulla superficie dell’acqua.
$$ 1 \ atm \approx 1.013 \cdot 10^5 \ Pa $$
Quindi, a 10 metri di profondità la pressione è circa 2 atmosfere, a 20 m la pressione è circa 3 atmosfere, a 30 m è circa 4 atmosfere, e così via.
Quando il subacqueo rilascia delle bolle d’aria, queste risalgono verso la superficie.
Il loro volume, però, non resta costante. In profondità le bolle hanno un volume minore perché sono soggette a una pressione esterna più elevata.
Man mano che risalgono, il volume delle bolle aumenta perché la pressione esterna diminuisce e il gas si espande.
La pressione tra due punti con dislivello Δh
La differenza di pressione tra due punti situati a quote diverse è proporzionale alla densità del fluido e al dislivello $ Δh $ $$ p_2 - p_1 = d \cdot g \cdot \Delta h $$ Dove \( d \) è la densità del fluido e \( g \) è l’accelerazione di gravità.
Questo corollario descrive come varia la pressione all’interno di un fluido in equilibrio quando si considerano due punti posti a profondità diverse.
Dimostrazione
Considero due punti nel fluido a profondità diverse.
Se il punto 2 si trova più in basso rispetto al punto 1, allora la pressione \( p_2 \) è maggiore di \( p_1 \). Questo perché il punto più profondo è soggetto al peso di una colonna di fluido più alta.
$$ p_1 = p_{at} + d g h_1 $$
$$ p_2 = p_{at} + d g h_2 $$
La differenza di pressione tra questi due punti è:
$$ p_2 - p_1 = ( p_{at} + d g h_2 ) - ( p_{at} + d g h_1 ) $$
$$ p_2 - p_1 = p_{at} + d g h_2 - p_{at} - d g h_1 $$
$$ p_2 - p_1 = d g (h_2 - h_1 ) $$
Sapendo che la differenza di profondità è $ \Delta h = h_2 - h_1 $
$$ p_2 - p_1 = d g \Delta h $$
Come volevasi dimostrarare.
Esempio
Consideriamo un recipiente pieno d'acqua. L'acqua ha una densità pari a \( d = 1000 \ kg/m^3 \).
A una profondità di 10 metri la pressione è:
$$ p_1 = d g h \approx 1000 \ kg/m^3 \cdot 9.8 \ N/kg \cdot 10 \ m = 98000 \ N/m^2 = 98000 \ Pa $$
A una profondità di 30 metri, invece, la pressione è:
$$ p_2 = d g h \approx 1000 \ kg/m^3 \cdot 9.8 \ N/kg \cdot 30 \ m = 294000 \ N/m^2 = 294000 \ Pa $$
Quindi, la differenza di pressione è
$$ p_2 - p_1 = 294000 \ Pa - 98000 \ Pa = 196000 \ Pa $$
Avrei ottenuto lo stesso risultato applicando direttamente la formula sapendo che la differenza di profondità tra i due punti è $ \Delta h = 30 - 10 = 20 \ m $
$$ p_2 - p_1 = d \cdot g \cdot \Delta h $$
$$ p_2 - p_1 = 1000 \ kg/m^3 \cdot 9.8 \ N/kg \cdot 20 \ m = 196000 \ N/m^2 = 196000 \ Pa $$
Esempio 2
Una sfera di raggio 20 cm è immersa in un liquido. Sapendo che la pressione nella parte superiore della sfera è $ p_1=105.2 kPa $ e quella nella parte inferiore è $ 107.2 kPa $, qual è la densità del liquido?
La pressione aumenta con la profondità secondo la relazione:
$$ p_2 - p_1 = d g \Delta h $$
Quindi, la densità si ottiene con la formula inversa
$$ d = \frac{p_2 - p_1}{g \cdot \Delta h} $$
In questo caso la differenza di pressione è
$$ \Delta p = p_2 - p_1 = (107.2 - 105.2) kPa = 2 \ kPa = 2 \cdot 10^3 \ Pa $$
L'accelerazione gravitazionale è
$$ g = 9.81 \ N/kg = 9.81 \ Nkg^{-1} $$
Poiché la sfera ha come raggio 20 cm, il diametro è 40 cm. Quindi, la differenza di profondità tra i due punti è
$$ \Delta \ h = 40 \ cm = 0,4 \ m $$
Sostituisco i valori nella formula
$$ d = \frac{p_2 - p_1}{g \cdot h} $$
$$ d = \frac{2 \cdot 10^3 \ Pa}{(9.81 \ Nkg^{-1}) \cdot (0.4 \ m)} $$
$$ d = \frac{2 \cdot 10^3 }{9.81 \cdot 0.4 } \frac{Pa}{m Nkg^{-1}} $$
$$ d = 509 \frac{kg \ Pa}{m N} $$
Converto l'unità di misura $ Pa = N/m^2 = N m^{-2} $
$$ d = 509 \frac{kg \ ( N \ m^{-2} )}{m N} $$
$$ d = 509 \ kg \ m^{-3} $$
La densità del liquido è circa:
$$ d \approx 5.1 \cdot 10^2 \ kg/m^3 $$
Il valore è circa la metà della densità dell’acqua ( $ d_{acqua} = 1000 \ kg/m^3 $ ). Questo indica che il liquido è più leggero, per esempio potrebbe essere simile a un olio.
E così via.
