Il principio dei vasi comunicanti
I vasi comunicanti sono recipienti collegati tra loro in cui un liquido, in condizioni di equilibrio, raggiunge lo stesso livello in tutti i rami, se la pressione sulla superficie è uguale e il liquido è lo stesso (stessa densità).
Considero due recipienti collegati da un tubo e riempiti con lo stesso liquido di densità \( d \).
Quando i recipienti sono aperti all’aria, quindi la pressione atmosferica sulla superficie \( p_0 \) è la stessa e il liquido si dispone allo stesso livello \( h \).
Perché accade?
La pressione in un liquido dipende dalla profondità secondo la relazione:
\[ p = p_0 + dgh \]
Dove \( p_0 \) è la pressione sulla superficie, \( d \) è la densità del liquido, \( g \) è l’accelerazione di gravità, \( h \) è la profondità.
Il liquido si dispone allo stesso livello perché, alla stessa profondità \( h \), la pressione alla base è uguale in entrambi i rami.
Di conseguenza, il liquido nel tubo non si muove perché le forze si equilibrano.
Cosa succede se i livelli sono diversi?
Se i due rami hanno livelli differenti, la profondità \( h \) è diversa.
In questo caso la pressione alla base non è più uguale ( \( p_1 > p_2 \) ). Nel ramo con livello più alto ( \( h_1 > h_2 \) ) la pressione è maggiore.
\[ p_1 = p_0 + dgh_1 \]
\[ p_2 = p_0 + dgh_2 \]
Questo crea una forza risultante che spinge il liquido dal ramo con livello più alto verso quello con livello più basso.
Il movimento continua finché i livelli tornano uguali e la pressione si riequilibra \( p_1 = p_2 \).
\[ p_0 + dgh_1 = p_0 + dgh_2 \]
Poiché, il liquido è lo stesso nei due recipienti, la densità \( d \) è la stessa. Sono identici anche l'accelerazione di gravità \( g \) e la pressione atmosferica sulla superficie \( p_0 \)
\[ \require{cancel} \cancel{p_0} + \cancel{dg}h_1 = \cancel{p_0} + \cancel{dg} h_2 \]
L’equilibrio si raggiunge quando la pressione è la stessa alla stessa profondità nei due rami.
\[ h_1 = h_2 \]
In altre parole, quando il liquido raggiunge lo stesso livello in entrambi i recipienti.
Nota. I vasi comunicanti spiegano molti fenomeni quotidiani. Ad esempio, gli acquedotti distribuiscono l’acqua sfruttando questo principio, i livelli nelle tubature si stabilizzano automaticamente e i serbatoi collegati mantengono lo stesso livello del liquido.
Esempio pratico
Considero due recipienti di forma diversa collegati da un tubo alla base.
Nel primo recipiente l’acqua arriva a 20 cm mentre nel secondo arriva a 10 cm.
La pressione alla base del primo recipiente è maggiore ( \( p_1 > p_2 \) ) , quindi l'acqua scorre verso il secondo recipiente.
Il flusso si ferma solo quando entrambe raggiungono lo stesso livello, ad esempio 17 cm.
Questo dimostra che la forma del recipiente non conta, conta solo l’equilibrio delle pressioni.
Nota. l livello finale dipende dalla quantità totale di liquido e dalla forma dei recipienti. Coincide con la media dei livelli iniziali solo se i due recipienti hanno la stessa sezione. In questo esempio, il recipiente che inizialmente ha il livello più alto è anche più grande, quindi il livello finale (17 cm) è più vicino a 20 cm che a 10 cm. Se i recipienti fossero stati uguali, il livello finale sarebbe stato 15 cm, cioè la media dei livelli iniziali.
Legge dei vasi comunicanti
Nei vasi comunicanti contenenti liquidi non miscibili in equilibrio, le altezze delle colonne sono inversamente proporzionali alle densità dei liquidi. $$ \frac{h_1}{h_2} = \frac{d_2}{d_1} $$
Questo vuol dire che nel caso ci siano liquidi non miscibili, i livelli nei vasi comunicanti non coincidono.
Ovviamente, questa relazione vale solo per liquidi non miscibili, come l’acqua e l’olio.
Se invece i liquidi sono miscibili, si mescolano formando un unico liquido omogeneo. In questo caso non ha più senso parlare di due colonne separate con densità diverse e, all’equilibrio, il livello libero del liquido è lo stesso nei vasi comunicanti.
Esempio
Ho due vasi comunicanti contenenti dell'acqua, essendo lo stesso liquido i livelli coincidono.
Ora verso dell'olio in un recipiente e i livelli non sono più allo stesso livello.
Il vaso dove ho versato l'olio è cresciuto di $ h_2 = 5.00 \ cm $ mentre l'altro vaso, dove è presente solo l'acqua, è cresciuto meno ( $ h_1 < h_2 $ ).
Di quanto è cresciuto il livello $ h_1 $ considerando che la densità dell'acqua e dell'olio sono le seguenti:
$$ d_{acqua} = 1.00 \cdot 10^3 \ kg/m^3 $$
$$ d_{olio} = 9.20 \cdot 10^2 \ kg/m^3 $$
Per saperlo applico la legge dei vasi comunicanti.
$$ \frac{h_1}{h_2} = \frac{d_2}{d_1} $$
Ricavo $ h_1 $
$$ h_1 = h_2 \cdot \frac{d_2}{d_1} $$
Sapendo che il livello dell'olio è $ h_2 = 5.00 \ cm $ ossia $ h_2 = 0.05 \ m $
$$ h_1 = (0.05 \ m) \cdot \frac{d_2}{d_1} $$
Sostituisco i valori delle densità dell'acqua $ d_1=d_{acqua} $ e dell'olio $ d_2=d_{olio} $.
$$ h_1 = (0.05 \ m) \cdot \frac{9.20 \cdot 10^2 \ kg/m^3}{1.00 \cdot 10^3 \ kg/m^3} $$
Semplifico
$$ h_1 = (0.05 \ m) \cdot \frac{9.20}{1.00 \cdot 10} $$
$$ h_1 = (0.05 \ m) \cdot 0.92 $$
$$ h_1 = 0.046 \ m $$
Quindi, il livello del vaso dove è presente l'acqua è cresciuto di 4.6 cm, meno rispetto al livello dell'olio ( 5 cm ).
Dimostrazione
Considero due vasi comunicanti contenenti liquidi non miscibili.
Prendo due punti A e B alla stessa quota nei due rami. In condizioni di equilibrio, la pressione nei due punti deve essere la stessa.
$$ p_1 = p_2 $$
La pressione in un liquido dipende dalla profondità ( $ h $ ), dalla densità ( $ d $ ), dall’accelerazione di gravità ( $ g $ ) e dalla pressione atmosferica ( $ p_0 $ ), secondo la relazione
$$ p = p_0 + dgh $$
Quindi
$$ p_1 = p_0 + d_1h_1g $$
$$ p_2 = p_0 + d_2h_2g $$
Sostituisco le espressioni nella relazione $ p_1 = p_2 $
$$ p_0 + d_1h_1g = p_0 + d_2h_2g $$
La pressione atmosferica è la stessa, quindi semplifico sottraendo $ p_0 $ in entrambi i membri.
$$ p_0 + d_1h_1g - p_0 = p_0 + d_2h_2g - p_0 $$
$$ d_1h_1g = d_2h_2g $$
Anche la gravità ( $ g $ ) è la stessa in entrambi i casi. Quindi semplifico dividendo entrambi i membri per $ g $.
$$ \frac{d_1h_1g}{g} = \frac{d_2h_2g}{g} $$
$$ d_1h_1 = d_2h_2 $$
Spostando i livelli a sinistra e le densità a destra ottengo la legge dei vasi comunicanti
$$ \frac{h_1}{h_2} = \frac{d_2}{d_1} $$
Come volevasi dimostrare.
E così via.
