La velocitÓ radiale e trasversa

La rappresentazione polare della velocità

La velocità può essere rappresentata tramite le coordinate polari.

la velocità radiale e traversa

E' suddivisa in due componenti:

  • La velocità radiale
    Un vettore nella direzione del raggio vettore.
    $$ v_r = \frac{ d \: r }{d \: t} \cdot \hat{u_r} $$
  • La velocità trasversa
    Un vettore ortogonale al raggio vettore
    $$ v_θ = r \cdot \frac{d \: u_r} {d \: t} = r \cdot \frac{d \: θ} {d \: t} \cdot u_θ $$

La formula della velocità polare è

$$ \vec{v} = \vec{v_r} + \vec{v_θ} $$

Nota. Indipendentemente dalla rappresentazione la velocità è sempre tangente alla traiettoria del punto materiale in movimento.

Come calcolare la velocità

La velocità radiale vr e la velocità trasversa vθ sono i cateti di un triangolo composto con il modulo della velocità.

Quindi, per calcolare la velocità posso usare il teorema di Pitagora.

$$ v = \sqrt{v_θ^2 + v_r^2} $$

    La dimostrazione

    Prendo in considerazione il raggio vettore r(t)

    $$ \vec{r}(t) = r \cdot u_r $$

    Dove ur è il versore del raggio vettore e indica il verso del vettore lungo la direzione.

    La variabile r è invece il modulo ossia la lunghezza del vettore

    il raggio vettore e il versore

    Esempio. Se il modulo del raggio vettore |r|=3 e il versore ur=(1/√2,-1/√2) il raggio vettore si trova nel quarto quadrante.
    esempio di raggio vettore e versore
    perché r(t) = ur·|r| $$ r(t) = u_r \cdot |r| $$ $$ r(t) = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \cdot |3| $$ $$ r(t) = \begin{pmatrix} \frac{|3|}{\sqrt{2}} \\ -\frac{|3|}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} $$ Sono le coordinate cartesiane (x,y) del vettore geometrico sul piano.

    Sapendo che la velocità v è uguale alla derivata del raggio vettore r(t) rispetto al tempo

    $$ \vec{v} = \frac{d \: \vec{r}(t) }{d \:t} = \frac{d \: \hat{u_r} \cdot r }{d \:t} $$

    Per la legge della derivata del prodotto ottengo

    $$ \frac{d \: \vec{r}(t) }{d \:t} = \hat{u_r} \cdot \frac{ d \: r }{d \: t} + r \cdot \frac{d \: \hat{u}_r} {d \: t} $$

    La prima componente è la velocità radiale

    $$ \frac{d \: \vec{r}(t) }{d \:t} = v_r + r \cdot \frac{d \: \hat{u}_r } {d \: t} $$

    Nota. La formula della velocità radiale è $$ v_r = \hat{u_r} \cdot \frac{ d \: r }{d \: t} $$

    La seconda componente è la velocità trasversa

    $$ \frac{d \: \vec{r}(t) }{d \:t} = v_r + v_θ $$

    Nota. La formula della velocità trasversa è $$ v_θ = r \cdot \frac{d \: u_r} {d \: t} = r \cdot \frac{d \: θ} {d \: t} \cdot u_θ $$

    E così via


     
    Segnalami un errore, un refuso o un suggerimento per migliorare gli appunti

    FacebookTwitterLinkedinLinkedin
    knowledge base

    La velocità in fisica