La formula dell'induttore

In un circuito elettrico le formule della tensione e della corrente dell'induttore sono $$ v = L \cdot \frac{di}{dt} $$ $$ i = \frac{1}{L} \cdot \int v $$

La spiegazione

La relazione fondamentale dell'induttanza è tra il flusso magnetico concatenato (φ) e la corrente (i).

$$ φ=Li $$

Usando la convenzione dell'utilizzatore il segno della corrente (i) è positivo.

Differenzio l'equazione rispetto al tempo

$$ \frac{dφ}{dt} = \frac{dLi}{dt} $$

Sapendo che la derivata del flusso magnetico concatenato (φ) rispetto al tempo è la tensione (v) ossia D[φ]=v.

$$ v = \frac{dLi}{dt} $$

Nell'ipotesi che l'induttanza (L) sia costante

$$ v = L \cdot \frac{di}{dt} $$

Quindi, la tensione (v) è proporzionale alla derivata della corrente (i)

Nota. Spesso la formula è usata in forma abbreviata. Si omette la variabile di derivazione (t) e si inserisce un punto sopra la variabile derivata prima. $$ v = L \cdot \dot{i} $$ oppure $$ v = L \cdot i' $$

Da questa formula ottengo l'altra

$$ v = L \cdot \frac{di}{dt} $$

calcolo l'integrale su entrambi i membri dell'equazione per mettere in evidenza la corrente (i)

$$ \int v = \int L \cdot \frac{di}{dt} $$

Nell'ipotesi che l'induttanza (L) sia costante

$$ \int v = L \cdot \int \frac{di}{dt} $$

$$ \int v = L \cdot i $$

$$ i = \frac{1}{L} \cdot \int v $$

Nota. In alcuni testi l'integrale indefinito è indicato con il simbolo dell'inversa della derivata D-1 $$ i = \frac{1}{L} \cdot D^{-1} v $$

E così via