La molteplicità algebrica e geometrica degli autovalori
Dato un operatore lineare f:V→V e uno spazio vettoriale V nel campo K=R, è possibile calcolare la molteplicità algebrica (ma) e geometrica (mb) degli autovalori sulla matrice associata all'applicazione lineare. $$ f:V→V $$
Essendo un operatore lineare, ossia un endomorfismo f:V→V, la matrice rappresentativa associata all'applicazione lineare è una matrice quadrata.
La differenza tra molteplicità algebrica e geometrica degli autovalori.
La molteplicità algebrica di un autovalore
La molteplicità algebrica di un autovalore λ indica quante volte l'autovalore annulla il polinomio caratteristico. $$ m_a (λ) $$
E' la molteplicità dell'autovalore λ come radice del polinomio caratteristico.
Nota. Nel campo dei numeri reali la somma delle molteplicità algebriche degli autovalori di una matrice non può superare la dimensione della matrice stessa.
Per capire il significato della molteplicità algebrica è utile un esempio pratico
Esempio
La matrice rappresentativa di un operatore lineare rispetto alla base è la seguente:
$$A_{fBB} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$
Il polinomio caratteristico P(λ) dell'operatore lineare è
$$ P(λ) = det(A - λId) = det [ \begin{pmatrix} -λ & 1 & 0 \\ 1 & -λ & 0 \\ 0 & 0 & 1-λ \end{pmatrix} ] $$
$$ P(λ) = (1-λ)(λ^2-1) $$
$$ P(λ) = (1-λ)(λ-1)(λ+1) $$
Pertanto gli autovalori che annullano il polinomio caratteristico sono due:
$$ λ_0 = 1 \\ λ_1 = -1 $$
I due autovalori hanno molteplicità algebrica differente.
L'autovalore λ0 ha molteplicità pari a due perché annulla il polinomio caratteristico in due casi: (1-λ) e (λ-1).
$$ m_a(λ_0) = 2 $$
L'autovalore λ1 ha molteplicità pari a uno perché annulla il polinomio caratteristico in un solo caso: (λ+1).
$$ m_a(λ_1) = 1 $$
E così via.
La somma delle molteplicità algebriche è inferiore o uguale al rango della matrice
Per verificare questo aspetto basta sommare le molteplicità degli autovalori λ1 e λ2.
$$ m_a(λ_0) + m_a(λ_1) = 2 + 1 = 3 $$
E' quindi uguale alla dimensione della matrice.
Nota. Nell'esempio la matrice rappresentativa ha rango uguale a tre ( rk=3 ).
La molteplicità geometrica di un autovalore
La molteplicità geometrica di un autovalore λ indica il numero di autovettori linearmente indipendenti relativi all'autovalore λ. E' la dimensione dell'autospazio E(λ). $$ m_g = dim_K ( E(λ) ) $$
La molteplicità geometrica è strettamente legata all'ordine (n) della matrice associata Af e al rango (r) della matrice caratteristica.
$$ m_g = n - r(A-λ ) $$
Esempio
Questa matrice rappresentativa è di ordine n=3.
$$A_{fBB} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$
e ha due autovalori
$$ λ_0 = 1 \\ λ_1 = -1 $$
Calcolo il rango delle matrici caratteristiche dei due autovalori.
Autovalore λ0
$$ m_g(λ_0) = n - r(A- λ) $$
$$ m_g(λ_0) = 3 - r[ \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} λ_0 & 0 & 0 \\ 0 & λ_0 & 0 \\ 0 & 0 & λ_0 \end{pmatrix} ]$$
$$ m_g(λ_0) = 3 - r [ \begin{pmatrix} -λ_0 & 1 & 0 \\ 1 & -λ_0 & 0 \\ 0 & 0 & 1-λ_0 \end{pmatrix} ] $$
Poiché λ0 è uguale a 1
$$ m_g(λ_0) = 3 - r [ \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} ] $$
Il rango della matrice A-λ0Id è pari a uno.
Pertanto, la molteplicità geometrica dell'autovalore λ0 è uguale a 2
$$ m_g(λ_0) = 3 - 1 = 2 $$
Autovalore λ1
$$ m_g(λ_1) = n - r(A- λ) $$
$$ m_g(λ_1) = 3 - r[ \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} λ_1 & 0 & 0 \\ 0 & λ_1 & 0 \\ 0 & 0 & λ_1 \end{pmatrix} ]$$
$$ m_g(λ_1) = 3 - r [ \begin{pmatrix} -λ_1 & 1 & 0 \\ 1 & -λ_1 & 0 \\ 0 & 0 & 1-λ_1 \end{pmatrix} ] $$
Poiché λ1 è uguale a -1
$$ m_g(λ_0) = 3 - r [ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} ] $$
In questo caso il rango della matrice A-λ1Id è uguale a 2
Pertanto, la molteplicità geometrica dell'autovalore λ1 è uguale a 1
$$ m_g(λ_1) = 3 - 2 = 1 $$
Ho così trovato le molteplicità geometriche dei due autovalori.
$$ m_g(λ_0) = 2 \\ m_g(λ_1) = 1 $$
La relazione tra molteplicità algebrica e geometrica
La molteplicità geometrica è sempre inferiore o uguale alla molteplicità algebrica.
$$ 1 \le m_g \le m_a $$
La molteplicità algebrica è, invece, uguale o inferiore alla dimensione dello spazio vettoriale a cui si riferisce l'operatore lineare f.
A cosa serve la molteplicità algebrica e geometrica
La molteplicità algebrica e geometrica degli autovalori è particolarmente utile per calcolare la diagonalizzazione di una matrice o di un operatore lineare.
Esempio. Se un autovalore ha molteplicità algebrica uguale a 1 allora, senza fare altri calcoli, si può dedurre che anche la molteplicità geometrica dell'autovalore sia uguale a uno. Ad esempio, nell'esercizio precedente l'autovalore λ1 ha molteplicità algebrica e geometrica uguali a 1. $$ m_a(λ_1) = m_g(λ_1) = 1 $$
