Il gradiente
Il gradiente di una funzione o campo scalare f(x,y,z) è un campo vettoriale le cui componenti sono le derivate parziali di f rispetto agli assi cartesiani di riferimento (x,y,z). $$ ∇ f = \frac{ d \ f}{d \ x} \vec{u}_x + \frac{ d \ f}{d \ y} \vec{u}_y + \frac{ d \ f}{d \ z} \vec{u}_z $$ E' un operatore differenziale e si indica con l'operatore differenziale nabla ∇, un triangolo verso il basso oppure con la dicitura grad $$ grad f = \frac{ d \ f}{ d \ x} \vec{u}_x + \frac{ d \ f}{ d \ y} \vec{u}_y + \frac{ d \ f}{ d \ z} \vec{u}_z$$.
Dove ux, uy, uz sono i versori degli assi x, y, z dello spazio vettoriale a tre dimensioni.
Il campo scalare f(x,y,y) è una funzione a valori reali.
Il gradiente ∇f è, invece, una funzione vettoriale.
A cosa serve il gradiente?
Il gradiente trasforma una funzione scalare (o campo scalare) in un vettore. Misura la variazione di una grandezza scalare in una direzione.
Ad esempio, il gradiente termico misura la variazione della temperatura in una particolare direzione dello spazio.
Nota. Il gradiente è utile per trovare la direzione in cui il campo scalare f(x,y,z) cresce più rapidamente. Il modulo del gradiente è uguale al tasso di variazione del campo scalare.
Le proprietà del gradiente
Dato un gradiente ∇f e un vettore v, il prodotto scalare ∇f·v è uguale al valore della derivata direzionale di f rispetto a v
$$ ∇f \cdot \vec{v} = D_v \ f $$
Cos'è la derivata direzionale? La derivata direzionale è la derivata di una funzione f(x,y,z) rispetto a una particolare direzione indicata dal vettore v. $$ D_v \ f = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h \cdot \vec{v}, \ y+h \cdot \vec{v}, \ z+h \cdot \vec{v})-f(x,y,z)}{h} $$ E' un'estensione del concetto di derivata parziale che invece si calcola rispetto agli assi di riferimento (x,y,z). $$ D_x \ f = \lim_{ \Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x, y, z)-f(x,y,z)}{ \Delta x} $$
Se considero un incremento infinitesimo nella direzione del vettore posizione v (raggio vettore)
$$ d \ \vec{v} = dx \cdot \vec{u_x} + dy \cdot \vec{u_y} + dz \cdot \vec{u_z} $$
La derivata direzionale della funzione rispetto a questa direzione è uguale al gradiente ∇f
$$ \frac{d \ f(\vec{v})}{d \ \vec{v}} = ∇f $$
Quindi, il differenziale della funzione df rispetto a questa direzione è
$$ df(\vec{v}) = ∇f \cdot d \vec{v} $$
E di conseguenza
$$ f(\vec{v} + d \vec{v})= f(\vec{v}) + df(\vec{v}) = f(\vec{v})+ ∇f(\vec{v}) \cdot \vec{v} $$
E così via.
