Sottospazio invariante di un operatore lineare

Un sottospazio vettoriale W dello spazio vettoriale V è detto invariante per un operatore lineare f:V -> V se ogni immagine f(w) appartiene a W per ogni w di W. $$ f(w) \in W \:\:\: \forall \:\: w \in W $$

Gli autospazi sono sottospazi invarianti

Ogni autospazio E(λ) dell'operatore lineare f è un sottospazio invariante per l'operatore lineare f.

Dimostrazione

Un autospazio E(λ) è composto da vettori v dello spazio vettoriale V che soddisfano questa condizione

$$ f(v) = λv \rightarrow v \in E(λ) $$

Poiché E(λ) è un sottospazio vettoriale di V, ne consegue che anche λv appartiene a E(λ)

$$ λv \in E(λ) $$

Quindi f(v) appartiene al sottospazio E(λ).

Questo dimostra che l'autospazio E(λ) è un sottospazio invariante per l'operatore lineare f.