La progressione in matematica
Cos'è una progressione numerica
Una progressione è una particolare successione di numeri regolata da una legge aritmetica o geometrica.
Esistono due tipi di progressioni: la progressione aritmetica e la progressione geometrica.
La progressione aritmetica
In una progressione aritmetica la differenza tra ciascun termine e il precedente è costante. Ad eccezione del primo termine della successione. $$ a_n - a_{n-1} = d $$ Quindi ogni termine della progressione è uguale alla somma tra il termine precedente e la ragione $$ a_n = a_{n-1} + d $$
Esempio
Questa successione è una progressione aritmetica
$$ 3 \ , \ 5 \ , \ 7 \ , \ 9 \ , \ 11 \ , \ 13 \ \dots $$
La ragione della progressione è
$$ d = 2 $$
I termini della progressione sono determinati in questo modo
$$ a_n = a_{n-1} + 2 $$
Pertanto, ad eccezione del primo termine a1=3 gli altri termini sono
$$ a_2 = 3 +2 = 5 \\ a_3 = 5+2 = 7 \\ a_4 = 7+2 = 9 \\ a_5 = 9 +2 = 11 \\ a_6 = 11+2 =13 $$
La progressione geometrica
In una progressione geometrica il rapporto tra ciascun termine e il precedente è costante. Fatta eccezione per il primo termine della successione. $$ \frac{ a_{n} }{a_n-1 } = q $$ Quindi ogni termine è uguale al prodotto tra il termine precedente e la ragione $$ a_n = a_{n-1} \cdot q $$
Esempio
Questa successione è una progressione geometrica
$$ 2 \ , \ 4 \ , \ 8 \ , \ 16 \ , \ 32 \ , \ 64 \ \dots $$
La ragione della progressione è
$$ q = 2 $$
I termini della progressione sono determinati in questo modo
$$ a_n = a_{n-1} \cdot 2 $$
Pertanto, ad eccezione del primo termine a1=2 gli altri termini sono
$$ a_2 = 2 \cdot 2 =4 \\ a_4 = 4 \cdot 2 = 8 \\ a_4 = 8 \cdot 2 = 16 \\ a_5 = 16 \cdot 2 = 32 \\ a_6 = 32 \cdot 2 = 64 $$
E così via
