Esercizio studio del limite 11
Devo studiare questo limite per x che tende a zero
$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{(e^{3x}-1) \sin x^4}{x^2 \log (1+x^3)} $$
Il limite è una forma indeterminata del tipo 0/0
$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{(e^{3x}-1) \sin x^4}{x^2 \log (1+x^3)} = \frac{0}{0} $$
Per uscire dalla forma indeterminata riscrivo il limite in questa forma equivalente
$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{(e^{3x}-1)}{x} \cdot \frac{ \sin x^4}{x \log (1+x^3)} = $$
$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{(e^{3x}-1)}{x} \cdot \lim_{x \rightarrow 0} \frac{ \sin x^4}{x \log (1+x^3)} $$
Moltiplico e divido il primo limite per 3
$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{(e^{3x}-1)}{x} \cdot \frac{3}{3} \cdot \lim_{x \rightarrow 0} \frac{ \sin x^4}{x \log (1+x^3)} $$
$$ 3 \cdot \lim_{x \rightarrow 0} \frac{(e^{3x}-1)}{3x} \cdot \lim_{x \rightarrow 0} \frac{ \sin x^4}{x \log (1+x^3)} $$
In questo modo ottengo il limite notevole (et-1)/t=1 dove t=3x
$$ 3 \cdot [ 1 ] \cdot \lim_{x \rightarrow 0} \frac{ \sin x^4}{x \log (1+x^3)} $$
$$ 3 \cdot \lim_{x \rightarrow 0} \frac{ \sin x^4}{x \log (1+x^3)} $$
Ora moltiplico e divido per x3 il denominatore dell'altro limite
$$ 3 \cdot \lim_{x \rightarrow 0} \frac{ \sin x^4}{x \log (1+x^3) \cdot \frac{x^3}{x^3} } $$
$$ 3 \cdot \lim_{x \rightarrow 0} \frac{ \sin x^4}{x^4 \cdot \frac{\log (1+x^3)}{x^3} } $$
$$ 3 \cdot [ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{ \sin x^4}{x^4} \cdot \lim_{x \rightarrow 0} \frac{ 1}{ \frac{\log (1+x^3)}{x^3} } ] $$
In questo modo ottengo altri due limiti notevoli
Il primo limite notevole è sin(t)/t=1 dove t=x4
$$ 3 \cdot [ 1 \cdot \lim_{x \rightarrow 0} \frac{ 1}{ \frac{\log (1+x^3)}{x^3} } ] $$
$$ 3 \cdot \lim_{x \rightarrow 0} \frac{ 1}{ \frac{\log (1+x^3)}{x^3} } $$
L'ultimo limite notevole è log(t+1)/t=1 dove t=x3
$$ 3 \cdot \lim_{x \rightarrow 0} \frac{ 1}{ \frac{\log (1+x^3)}{x^3} } = 3 \cdot \frac{1}{1} = 3 $$
Quindi il limite per x->0 è 3.
E così via.
