Esercizio limite di funzione di due variabili 1

Devo calcolare il limite di questa funzione di due variabili

$$ \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} \frac{\sin(x^2+y^2)}{x^2+y^2} $$

Quando (x,y) tende a (0,0) il limite della funzione tende alla forma indeterminata 0/0

$$ \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} \frac{\sin(x^2+y^2)}{x^2+y^2} = \frac{0}{0} $$

Per risolvere il limite adotto la tecnica del cambio di variabile.

Fisso la variabile t uguale a x^2+y^2

$$ t = x^2 + y^2 $$

In questo modo trasformo il limite della funzione f(x,y) nel limite notevole di una funzione f(t)

$$ \lim_{t \rightarrow 0} \frac{\sin(t)}{t} $$

Il limite notevole di sen(t)/t è uguale a 1

$$ \lim_{t \rightarrow 0} \frac{\sin(t)}{t} = 1 $$

Quindi anche il limite della funzione f(x,y) è uguale a 1.

Con un nuovo cambio di variabile sostituisco t con x^2+y^2

Il limite è risolto.

$$ \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} \frac{\sin(x^2+y^2)}{x^2+y^2} = 1 $$

E così via.