Irrazionalità della radice dei numeri primi
La radice di ogni numero primo è un numero irrazionale.
Dimostrazione per assurdo
Sia p un numero primo.
Per assurdo ipotizzo che la sua radice sia un numero razionale.
Allora esistono due numeri interi m,n appartenenti all'insieme Z, ad eccezione dello 0 e 1, tali che:
$$ \sqrt{p} = \frac{m}{n} \: \forall m,n \in Z - (0,1) $$
Elevando al quadrato entrambi i membri ottengo
$$ p = \frac{m^2}{n^2} $$
Quindi
$$ pn^2 = m^2 $$
Per ipotesi il massimi comune divisore MCD(m,n) è
$$ MCD(m,n)=1 $$
Esiste almeno un intero k diverso da zero tale che
$$ m = pk $$
Sostituendo m nel precedente rapporto
$$ p = \frac{m^2}{n^2} = \frac{(pk)^2}{n^2} = \frac{p^2k^2}{n^2} $$
$$ n^2 = \frac{p^2k^2}{p} $$
$$ n^2 = pk^2 $$
Quindi n2 sarebbe un multiplo di p.
A questo punto sia m che n sarebbero multipli di p.
Questo però è un assurdo perché MCD(m,n)=1 per ipotesi.
Pertanto, la radice di un numero primo è un numero irrazionale.
