Esercizio calcolo integrale 6
Devo risolvere l'integrale indefinito
$$ \int_1^{\sqrt{e}} \frac{\log(x)-2}{x[\log^2(x)-1] } \ dx $$
Cerco di risolvere l'integrale per sostituzione introducendo una variabile ausiliaria.
$$ t= \log(x) $$
Calcolo il differenziale di entrambi i membri rispetto a t e x
$$ 1 \cdot dt = \frac{1}{x} \ dx $$
$$ dt = \frac{1}{x} dx $$
Riscrivo l'integrale rispetto alla variabile t sapendo t=log(x)
Quindi, gli estremi di integrazione rispetto a t diventano
$$ \int_{t=\log 1}^{t=\log{\sqrt{e}}} \frac{\log(x)-2}{x[ \log^2(x)-1] } \ dx $$
$$ \int_0^{\frac{1}{2}} \frac{\log(x)-2}{x[\log^2(x)-1] } \ dx $$
Poi sostituisco t=log(x) nella funzione integranda.
$$ \int_0^{\frac{1}{2}} \frac{t-2}{x(t^2-1) } \ dx $$
Infine sostituisco dt=dx/x
$$ \int_0^{\frac{1}{2}} \frac{t-2}{(t^2-1) } \ dt $$
Tuttavia, l'integrale non è ancora calcolabile.
Provo ulteriormente a semplificare l'integrale al denominatore sapendo che (t2-1)=(t-1)(t+1)
$$ \int_0^{\frac{1}{2}} \frac{t-2}{(t-1) \cdot (t+1) } \ dt $$
Poi uso la tecnica dei fratti semplici per trasformare la funzione integranda in una somma di frazioni più semplici.
$$ \int_0^{\frac{1}{2}} \frac{t-2}{(t-1) \cdot (t+1) } \ dt = \int_0^{\frac{1}{2}} \frac{A}{t-1} + \frac{B}{t+1} \ dt $$
$$ \int_0^{\frac{1}{2}} \frac{t-2}{(t-1) \cdot (t+1) } \ dt = \int_0^{\frac{1}{2}} \frac{A(t+1)++B(t-1)}{t-1} \ dt $$
$$ \int_0^{\frac{1}{2}} \frac{t-2}{(t-1) \cdot (t+1) } \ dt = \int_0^{\frac{1}{2}} \frac{At+A++Bt-B}{t-1} \ dt $$
$$ \int_0^{\frac{1}{2}} \frac{t-2}{(t-1) \cdot (t+1) } \ dt = \int_0^{\frac{1}{2}} \frac{t(A+B)+(A-B)}{t-1} \ dt $$
Quindi A+B=1 e A-B=-2
Per trovare i valori equivalenti di A e B risolvo il sequente sistema tramite il metodo della sostituzione
$$ \begin{cases} A+B=1 \\ A-B=-2 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} A=1-B \\ (1-B)-B=-2 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} A=1-B \\ 1-2B=-2 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} A=1-B \\ -B=\frac{-2-1}{2} \end{cases} $$
$$ \begin{cases} A=1-B \\ B=\frac{3}{2} \end{cases} $$
$$ \begin{cases} A=1-\frac{3}{2} \\ B=\frac{3}{2} \end{cases} $$
$$ \begin{cases} A=\frac{2-3}{2} \\ B=\frac{3}{2} \end{cases} $$
$$ \begin{cases} A=-\frac{1}{2} \\ B=\frac{3}{2} \end{cases} $$
A questo punto, una volta trovati A=-1/2 e B=3/2, li sostituisco nella funzione integranda
$$ \int_0^{\frac{1}{2}} \frac{t-2}{(t-1) \cdot (t+1 } \ dt = \int_0^{\frac{1}{2}} \frac{A}{t-1} + \frac{B}{t+1} \ dt $$
$$ \int_0^{\frac{1}{2}} \frac{t-2}{(t-1) \cdot (t+1 } \ dt = \int_0^{\frac{1}{2}} \frac{-\frac{1}{2}}{t-1} + \frac{\frac{3}{2}}{t+1} \ dt $$
Pertanto, posso scrivere la funzione integranda come somma di frazioni più semplici
$$ \int_0^{\frac{1}{2}} \frac{-\frac{1}{2}}{t-1} + \frac{\frac{3}{2}}{t+1} \ dt $$
Suddivido l'integrale della somma nella somma di due integrali
$$ \int_0^{\frac{1}{2}} \frac{-\frac{1}{2}}{t-1} \ dt + \int_0^{\frac{1}{2}} \frac{\frac{3}{2}}{t+1} \ dt $$
Poi semplifico
$$ \int_0^{\frac{1}{2}} -\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{t-1} \ dt + \int_0^{\frac{1}{2}} \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{t+1} \ dt $$
$$ -\frac{1}{2} \cdot \int_0^{\frac{1}{2}} \frac{1}{t-1} \ dt + \frac{3}{2} \cdot \int_0^{\frac{1}{2}} \frac{1}{t+1} \ dt $$
Ora gli integrali sono integrali elementari, quindi facilmente calcolabili.
La primitiva del primo integrale è log |t-1| mentre quella del secondo integrale è log |t+1|
$$ -\frac{1}{2} \cdot [ \log |t-1| ]_0^{\frac{1}{2}} + \frac{3}{2} \cdot [ \log |t+1| ]_0^{\frac{1}{2}} $$
Nota. Non indico la costante c nella primitiva perché si tratta di un integrale definito.
$$ -\frac{1}{2} \cdot ( \log |\frac{1}{2}-1| - \log |0-1| ) + \frac{3}{2} \cdot ( \log |\frac{1}{2}+1| - \log |0+1| ) $$
$$ -\frac{1}{2} \cdot ( \log |\frac{1}{2}-1| - \log |-1| ) + \frac{3}{2} \cdot ( \log |\frac{1}{2}+1| - \log |1| ) $$
Sapendo che log |1|=0 e log |-1|=log 1=0
$$ -\frac{1}{2} \cdot ( \log |\frac{1}{2}-1| - 0 ) + \frac{3}{2} \cdot ( \log |\frac{1}{2}+1| - 0 ) $$
$$ -\frac{1}{2} \cdot ( \log |\frac{1}{2}-1| ) + \frac{3}{2} \cdot ( \log |\frac{1}{2}+1| ) $$
$$ -\frac{1}{2} \cdot ( \log | - \frac{1}{2} | ) + \frac{3}{2} \cdot ( \log |\frac{3}{2}| ) $$
Sapendo che log |-1/2| = log 1/2
$$ -\frac{1}{2} \cdot ( \log \frac{1}{2} ) + \frac{3}{2} \cdot ( \log |\frac{3}{2}| ) $$
Quindi, la soluzione dell'integrale definito è
$$ \frac{3}{2} \cdot \log (\frac{3}{2}) -\frac{1}{2} \cdot \log ( \frac{1}{2} ) $$
E così via.
