Esercizio calcolo integrale 2
Calcolo l'integrale della funzione
$$ \int \sin^3 (x) \cdot \cos(x) \ dx $$
Utilizzo il metodo di integrazione per sostituzione.
Assegno alla variabile temporanea t=sin
$$ t = \sin(x) $$
Calcolo la derivata del primo membro dell'equazione rispetto alla variabile dt e il secondo membro rispetto a dx.
$$ D[t] = D[\sin(x)] $$
$$ 1 \ dt = \cos x \ dx $$
Ora sostituisco t=sin(x) nell'integrale
Se t=sin(x) allora sin3(x)=t3
$$ \int t^3 \cdot \cos(x) \ dx $$
Poi sostituisco anche dt=cos(x) dx
$$ \int t^3 \cdot [ \cos(x) \ dx ] $$
$$ \int t^3 \ dt $$
In questo modo ho riscritto l'integrale iniziale come un integrale di una potenza
Sapendo che l'integrale di una potenza tn è t(n+1)/(n+1) +c
$$ \int t^3 \ dt = \frac{t^{3+1}}{3+1} + c = $$
$$ \int t^3 \ dt = \frac{t^{4}}{4} + c $$
A questo punto sostituisco t=sin(x) nell'integrale.
$$ \int t^3 \ dt = \frac{\sin^{4}(x)}{4} + c $$
Ho risolto l'integrale.
Metodo alternativo. Questo integrale $$ \int \sin^3(x) \cdot \cos(x) dx $$ posso risolverlo anche usando quest'altra tecnica di risoluzione dell'integrale $$ \int f'(x) \cdot [ f(x) ]^n \ dx = \frac{[f(x)]^{n+1}}{n+1} + c$$ Considerando f(x)=sin x, f'(x)=cos x e n=3 $$ \int \cos(x) \cdot [ \sin(x) ]^3 \ dx = \frac{[\sin(x)]^{3+1}}{3+1} + c$$ $$ \int \cos(x) \cdot [ \sin(x) ]^3 \ dx = \frac{\sin^{4}(x)}{4} + c$$ Il risultato è lo stesso.
E così via.
