Algebra degli o piccoli

Le proprietà degli o piccoli danno vita a una vera e propria algebra degli o piccoli, le cui regole riassumo in questa tabella. $$o(x^n)+o(x^n)=o(x^n)$$ $$o(x^n)-o(x^n)=o(x^n)$$ $$c \cdot o(x^n)=o(c \cdot x^n)=o(x^n) \:\: se \: c \ne 0$$ $$x^m \cdot o(x^n)=o(x^{m+n})$$ $$o(x^m) \cdot o(x^n)=o(x^{m+n})$$ $$o(o(x^n))=o(x^n)$$ $$o(x^n+o(x^n))=o(x^n)$$

La somma degli o piccoli

Date due funzioni infinitesime di ordine superiore a xⁿ per x che tende a x₀, la loro somma è uguale a $$o(x^n)+o(x^n)=o(x^n)$$

Dimostrazione

Considero due funzioni infinitesime f(x) e g(x)

$$f(x)=o(x^n)$$ $$g(x)=o(x^n)$$

Sono entrambe funzioni infinitesime di ordine superiore a xⁿ per x che tende a zero.

$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^n} = 0$$

$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{g(x)}{x^n} = 0$$

Secondo le regole dei limiti, anche il limite della somma delle funzioni per x→0 è uguale a zero

$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^n} + \lim_{x \rightarrow 0} \frac{g(x)}{x^n} = 0$$

$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)+g(x)}{x^n} = 0$$

Pertanto, anche la somma delle funzioni f(x)+g(x) è un infinitesimo di ordine superiore a xⁿ per x→0.

$$o(f(x)+g(x))$$

Questo dimostra la regola della somma degli o piccoli

$$o(x^n)+o(x^n)=o(x^n)$$

La sottrazione degli o piccoli

Date due funzioni infinitesime di ordine superiore a xⁿ per x che tende a x₀, la loro differenza tra gli o piccoli è uguale a $$o(x^n)-o(x^n)=o(x^n)$$

Dimostrazione

Per dimostrare questa regola si segue lo stesso procedimento usato per dimostrare la somma.

Basta sostituire il più con il meno.

Il prodotto degli o piccoli per uno scalare

Data una funzione infinitesima f(x) di ordine superiore a xⁿ per x che tende a x₀, il prodotto di un numero scalare c≠0 per l'o piccolo o(xⁿ) è uguale a $$c \cdot o(x^n)=o(c \cdot x^n)=o(x^n) \:\: se c \ne 0$$

Dimostrazione

Per dimostrare questa regola basta fare ricorso alle prime regole algebriche.

La funzione f(x) è un infinitesimo di ordine superiore a x_n per x che tende a x₀

$$f(x)=o(x^n)$$

quindi il limite del rapporto f(x)/xⁿ per x→x₀ è uguale a zero.

$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^n} = 0$$

Il prodotto tra qualsiasi numero scalare c e lo zero è sempre zero

$$c \cdot \lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^n} = 0$$

Questo dimostra la regola

$$c \cdot o(x^n)=o(c \cdot x^n)=o(x^n) \:\: se \: c \ne 0$$

Il prodotto degli o piccoli per una funzione

Data una funzione infinitesima f(x) di ordine superiore a xⁿ per x che tende a x₀, il prodotto di una funzione x^m per l'o piccolo o(xⁿ) è uguale a $$x^m \cdot o(x^n)=o(x^{m+n})$$

Dimostrazione

Questa regola si dimostra in modo simile al prodotto per uno scalare

$$x^m \cdot o(x^n)$$

$$o(x^m \cdot x^n)$$

$$o(x^{m+n} )$$

La moltiplicazione tra o piccoli

Date due funzioni infinitesime di ordine superiore a xⁿ per x che tende a x₀, il prodotto degli o piccoli è uguale a $$o(x^m) \cdot o(x^n)=o(x^{m+n})$$

Dimostrazione

Questa regola si dimostra in modo analogo al prodotto per uno scalare

$$o(x^m) \cdot o(x^n)$$

$$o(x^m \cdot x^n)$$

$$x^m \cdot o(x^{m+n} )$$

L'o piccolo di o piccolo

Data una funzione f(x) infinitesima di ordine superiore rispetto a un o piccolo o(xⁿ) per x che tende a x₀, si ottiene $$o(o(x^n))=o(x^n)$$

Dimostrazione

In questo caso la funzione infinitesima per x→x₀ è o(o(xⁿ))

$$f(x)=o(o(x^n))$$

Devo dimostrare che

$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^n} = 0$$

$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{o(o(x^n))}{x^n} = 0$$

moltiplicando il numeratore e il denominatore per o(xⁿ) il risultato non cambia

$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{o(o(x^n))}{x^n} \cdot \frac{o(x^n)}{o(x^n)} = 0$$

con qualche passaggio algebrico

$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{o(o(x^n))}{o(x^n)} \cdot \frac{o(x^n)}{x^n} = 0$$

Poiché o(xⁿ)/xⁿ tende a zero, ne consegue che o(o(xⁿ))=o(xⁿ).

Nota. Il limite è finito ed è uguale a zero per l'ipotesi iniziale. Quindi il rapporto o(o(xⁿ))/o(xⁿ) non può tendere a infinito, se così fosse il limite diventerebbe una forma indeterminata del tipo infinito per zero. La componente o(o(xⁿ) deve essere un infinitesimo di xⁿ di ordine pari o superiore.

Pertanto, per x→0 vale

$$f(x) = o(o(x^n)) = o(x^n)$$

Ho così dimostrato la regola degli o piccoli di o piccoli.

$$o(o(x^n))=o(x^n)$$

L'o piccolo di xⁿ+o(xⁿ)

Data una funzione f(x) infinitesima di ordine superiore rispetto a xⁿ+o(xⁿ) per x che tende a x₀, si ottiene $$o(x^n+o(x^n))=o(x^n)$$

Dimostrazione

In questo caso la funzione infinitesima per x→x₀ è o(xⁿ+o(xⁿ))

$$f(x)=o(x^n+o(x^n))$$

Devo dimostrare che

$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^n} = 0$$

$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{o(x^n+o(x^n))}{x^n} = 0$$

moltiplicando il numeratore e il denominatore per o(xⁿ) il risultato non cambia

$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{o(x^n+o(x^n))}{x^n} \cdot \frac{o(x^n)}{o(x^n)} = 0$$

con qualche passaggio algebrico

$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{o(x^n+o(x^n))}{o(x^n)} \cdot \frac{o(x^n)}{x^n} = 0$$

Poiché o(xⁿ)/xⁿ tende a zero, ne consegue che o(xⁿ+o(xⁿ))=o(xⁿ).

Nota. Il limite è finito ed è uguale a zero per l'ipotesi iniziale. Quindi il rapporto o(xⁿ+o(xⁿ))/o(xⁿ) non può tendere a infinito, se così fosse il limite diventerebbe una forma indeterminata del tipo infinito per zero. La componente o(xⁿ+o(xⁿ) deve essere un infinitesimo di xⁿ di ordine pari o superiore.

Pertanto, per x→0 vale

$$f(x) = o(x^n+o(x^n)) = o(x^n)$$

Ho così dimostrato la regola

$$o(x^n+o(x^n))=o(x^n)$$

E così via.