Algebra degli o piccoli
Le proprietà degli o piccoli danno vita a una vera e propria algebra degli o piccoli, le cui regole riassumo in questa tabella. $$ o(x^n)+o(x^n)=o(x^n) $$ $$ o(x^n)-o(x^n)=o(x^n) $$ $$ c \cdot o(x^n)=o(c \cdot x^n)=o(x^n) \:\: se \: c \ne 0 $$ $$ x^m \cdot o(x^n)=o(x^{m+n}) $$ $$ o(x^m) \cdot o(x^n)=o(x^{m+n}) $$ $$ o(o(x^n))=o(x^n) $$ $$ o(x^n+o(x^n))=o(x^n) $$
La somma degli o piccoli
Date due funzioni infinitesime di ordine superiore a xn per x che tende a x0, la loro somma è uguale a $$ o(x^n)+o(x^n)=o(x^n) $$
Dimostrazione
Considero due funzioni infinitesime f(x) e g(x)
$$ f(x)=o(x^n) $$ $$ g(x)=o(x^n) $$
Sono entrambe funzioni infinitesime di ordine superiore a xn per x che tende a zero.
$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^n} = 0 $$
$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{g(x)}{x^n} = 0 $$
Secondo le regole dei limiti, anche il limite della somma delle funzioni per x→0 è uguale a zero
$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^n} + \lim_{x \rightarrow 0} \frac{g(x)}{x^n} = 0 $$
$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)+g(x)}{x^n} = 0 $$
Pertanto, anche la somma delle funzioni f(x)+g(x) è un infinitesimo di ordine superiore a xn per x→0.
$$ o(f(x)+g(x)) $$
Questo dimostra la regola della somma degli o piccoli
$$ o(x^n)+o(x^n)=o(x^n) $$
La sottrazione degli o piccoli
Date due funzioni infinitesime di ordine superiore a xn per x che tende a x0, la loro differenza tra gli o piccoli è uguale a $$ o(x^n)-o(x^n)=o(x^n) $$
Dimostrazione
Per dimostrare questa regola si segue lo stesso procedimento usato per dimostrare la somma.
Basta sostituire il più con il meno.
Il prodotto degli o piccoli per uno scalare
Data una funzione infinitesima f(x) di ordine superiore a xn per x che tende a x0, il prodotto di un numero scalare c≠0 per l'o piccolo o(xn) è uguale a $$ c \cdot o(x^n)=o(c \cdot x^n)=o(x^n) \:\: se c \ne 0 $$
Dimostrazione
Per dimostrare questa regola basta fare ricorso alle prime regole algebriche.
La funzione f(x) è un infinitesimo di ordine superiore a xn per x che tende a x0
$$ f(x)=o(x^n) $$
quindi il limite del rapporto f(x)/xn per x→x0 è uguale a zero.
$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^n} = 0 $$
Il prodotto tra qualsiasi numero scalare c e lo zero è sempre zero
$$ c \cdot \lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^n} = 0 $$
Questo dimostra la regola
$$ c \cdot o(x^n)=o(c \cdot x^n)=o(x^n) \:\: se \: c \ne 0 $$
Il prodotto degli o piccoli per una funzione
Data una funzione infinitesima f(x) di ordine superiore a xn per x che tende a x0, il prodotto di una funzione xm per l'o piccolo o(xn) è uguale a $$ x^m \cdot o(x^n)=o(x^{m+n}) $$
Dimostrazione
Questa regola si dimostra in modo simile al prodotto per uno scalare
$$ x^m \cdot o(x^n) $$
$$ o(x^m \cdot x^n) $$
$$ o(x^{m+n} ) $$
La moltiplicazione tra o piccoli
Date due funzioni infinitesime di ordine superiore a xn per x che tende a x0, il prodotto degli o piccoli è uguale a $$ o(x^m) \cdot o(x^n)=o(x^{m+n}) $$
Dimostrazione
Questa regola si dimostra in modo analogo al prodotto per uno scalare
$$ o(x^m) \cdot o(x^n) $$
$$ o(x^m \cdot x^n) $$
$$ x^m \cdot o(x^{m+n} ) $$
L'o piccolo di o piccolo
Data una funzione f(x) infinitesima di ordine superiore rispetto a un o piccolo o(xn) per x che tende a x0, si ottiene $$ o(o(x^n))=o(x^n) $$
Dimostrazione
In questo caso la funzione infinitesima per x→x0 è o(o(xn))
$$ f(x)=o(o(x^n)) $$
Devo dimostrare che
$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^n} = 0 $$
$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{o(o(x^n))}{x^n} = 0 $$
moltiplicando il numeratore e il denominatore per o(xn) il risultato non cambia
$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{o(o(x^n))}{x^n} \cdot \frac{o(x^n)}{o(x^n)} = 0 $$
con qualche passaggio algebrico
$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{o(o(x^n))}{o(x^n)} \cdot \frac{o(x^n)}{x^n} = 0 $$
Poiché o(xn)/xn tende a zero, ne consegue che o(o(xn))=o(xn).
Nota. Il limite è finito ed è uguale a zero per l'ipotesi iniziale. Quindi il rapporto o(o(xn))/o(xn) non può tendere a infinito, se così fosse il limite diventerebbe una forma indeterminata del tipo infinito per zero. La componente o(o(xn) deve essere un infinitesimo di xn di ordine pari o superiore.
Pertanto, per x→0 vale
$$ f(x) = o(o(x^n)) = o(x^n) $$
Ho così dimostrato la regola degli o piccoli di o piccoli.
$$ o(o(x^n))=o(x^n) $$
L'o piccolo di xn+o(xn)
Data una funzione f(x) infinitesima di ordine superiore rispetto a xn+o(xn) per x che tende a x0, si ottiene $$ o(x^n+o(x^n))=o(x^n) $$
Dimostrazione
In questo caso la funzione infinitesima per x→x0 è o(xn+o(xn))
$$ f(x)=o(x^n+o(x^n)) $$
Devo dimostrare che
$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^n} = 0 $$
$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{o(x^n+o(x^n))}{x^n} = 0 $$
moltiplicando il numeratore e il denominatore per o(xn) il risultato non cambia
$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{o(x^n+o(x^n))}{x^n} \cdot \frac{o(x^n)}{o(x^n)} = 0 $$
con qualche passaggio algebrico
$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{o(x^n+o(x^n))}{o(x^n)} \cdot \frac{o(x^n)}{x^n} = 0 $$
Poiché o(xn)/xn tende a zero, ne consegue che o(xn+o(xn))=o(xn).
Nota. Il limite è finito ed è uguale a zero per l'ipotesi iniziale. Quindi il rapporto o(xn+o(xn))/o(xn) non può tendere a infinito, se così fosse il limite diventerebbe una forma indeterminata del tipo infinito per zero. La componente o(xn+o(xn) deve essere un infinitesimo di xn di ordine pari o superiore.
Pertanto, per x→0 vale
$$ f(x) = o(x^n+o(x^n)) = o(x^n) $$
Ho così dimostrato la regola
$$ o(x^n+o(x^n))=o(x^n) $$
E così via.
