Come controllare se i vettori sono linearmente dipendenti o indipendenti

Per verificare se i vettori sono linearmente dipendenti o indipendenti verifico se esiste una combinazione lineare dei vettori uguale a zero.

$$ a_1 v_1 + ... + a_n v_n = 0 $$

Se esiste i vettori sono linearmente dipendenti.

E se non esiste? Se il problema non ha una soluzione, allora i vettori sono linearmente indipendenti. Se l'unica combinazione possibile per ottenere a1 v1 +...+ an vn = 0 è la combinazione banale ( tutti gli scalari uguali a zero ) allora i vettori sono linearmente indipendenti.

    Esercizio pratico

    Esempio 1

    Nello spazio vettoriale R4 nel campo K=R ho un sottospazio vettoriale W definito da un sistema di generatori composto da tre vettori.

    $$W = L_R (w_1, w_2, w_3) \:\:\:con \begin{cases} w_1 = (1,1,0,0) \\ w_2 = (1,2,0,1) \\ w_3= (0,1,0,1) \end{cases} $$

    Verifico la combinazione lineare uguale a zero di un generico vettore v di W

    $$ v = a_1 w_1 + a_2 w_2 + a_3 w_3 = 0 $$

    $$ a_1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + a_2 \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + a_3 \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = 0 $$

    $$ \begin{pmatrix} a_1 \\ a_1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a_2 \\ 2a_2 \\ 0 \\ a_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ a_3 \\ 0 \\ a_3 \end{pmatrix} = 0 $$

    $$ \begin{pmatrix} a_1 + a_2 \\ a_1 + 2a_2 + a_3 \\ 0 \\ a_2+ a_3 \end{pmatrix} = 0 $$

    Nel sistema non considero l'equazione 0=0 perché è una semplice identità e non influisce sulla soluzione del sistema.

    Riscrivo l'equazione vettoriale come sistema di equazioni.

    $$ \begin{cases} a_1+a_2=0 \\ a_1+2a_2+a_3=0 \\ a_2+a_3=0 \end{cases} $$

    Poi verifico se il sistema ha una soluzione usando il metodo di Cramer.

    $$ det \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} = 0 $$

    Il determinante della matrice dei coefficienti è uguale a zero.

    Quindi, il sistema non ha soluzioni.

    Non essendo possibile trovare una soluzione al sistema, concludo che i vettori sono linearmente dipendenti.

    Nota. Alla stessa conclusione sarei potuto giungere molto più rapidamente con un'analisi del rango della matrice dei coefficienti del sistema. $$ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} $$ Il minore complementare più alto con determinante diverso da zero è di ordine due mentre lo spazio vettoriale è uguale a n=4. $$ det \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \ne 0 $$ $$ det \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \ne 0 $$ $$ det \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \ne 0 $$ Pertanto, presi a coppia i vettori sono linearmente indipendenti ( es. w1 e w2 ) ma presi e tre tutti insieme sono linearmente indipendenti perché il rango è inferiore alla dimensione dello spazio vettoriale.

     


     

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    Dipendenza e indipendenza lineare