Come determinare la legge oraria dalla velocità

Moto rettilineo uniforme

La legge oraria del moto rettilineo uniforme di un punto può essere ottenuto con l'integrale della velocità v(t). $$ x(t) = x_0 + \int_{t_0}^{t}{ v(t) dt} $$ oppure senza usare il calcolo integrale con la formula $$ x(t)=x_0+v(t-t_0) $$

Dove x₀ è la posizione iniziale del punto nell'istante t₀.

La velocità istantanea v(t) è la derivata del rapporto incrementale Δx/Δt.

$$ \lim_{Δt \rightarrow 0} \frac{Δx}{Δt} = \frac{dx}{dt} $$

Pertanto l'integrale della velocità v(t) permette di ricostruire la posizione x(t) del punto al variare del tempo.

Dimostrazione. Il punto si trova nella posizione x al tempo t. Dopo un istante infinitesimale t+dt, il punto si trova nella posizione x+dx. Sapendo che $$ v(t)=\frac{dx}{dt} $$ allora lo spostamento infinitesimo dx è uguale al prodotto tra la velocità istantanea v(t) e il tempo infinitesimo dt. $$ dx = v(t) \cdot dt $$ Risolvendo l'equazione differenziale del primo ordine si ottiene il risultato. In un lasso temporale Δt = t-t₀ il punto percorre uno spazio Δx=x-x₀ pari alla somma algebrica di tutti i dx. Quindi lo spazio Δx è uguale all'integrale di dx da x₀ a x. $$ Δx = \int_{x_0}^{x}{ dx} $$ Sapendo che $$ dx = v(t) \cdot dt $$ Vale la seguente uguaglianza $$ \int_{x_0}^{x}{ dx} = \int_{t_0}^{t}{ v(t) dt} $$ Il primo integrale si risolve semplicemente con x-x₀. $$ x - x_0 = \int_{t_0}^{t}{ v(t) dt} $$ quindi $$ x = x_0 + \int_{t_0}^{t}{ v(t) dt} $$E' quindi possibile calcolare lo spostamento del punto in funzione delle velocità istantanee.

Esempio

Nello spostamento di un punto sulla retta ho rilevato le velocità in quattro istanti differenti.

Essendo un moto rettilineo uniforme, la velocità è costante ed è pari a 2 m/sec.

$$ \begin{array}{c|rc} t & v(t) \\ \hline 0 & 2 \\ 1 & 2 \\ 2 & 2 \\ 3 & 2 \end{array} $$

Il punto iniziale del moto è x₀=0.

Quindi calcolo le posizioni con la seguente formula.

$$ x(t) = x_0 + \int_{t_0}^{t}{ v(t) dt} $$

Per t=0

$$ x(0) = 0 + \int_{0}^{0}{ v(0) dt} = 0 + \int_{0}^{0}{ 2 dt} = 0 $$

Per t=1

$$ x(1) = 0 + \int_{0}^{1}{ v(1) dt} = 0 + \int_{0}^{1}{ 2 dt} = 0 + 2 \int_{0}^{1}{ dt} = 2 $$

Per t=2

$$ x(2) = 0 + \int_{0}^{2}{ v(2) dt} = 0 + \int_{0}^{2}{ 2 dt} = 0 + 2 \int_{0}^{2}{ dt} = 4 $$

Per t=3

$$ x(3) = 0 + \int_{0}^{3}{ v(3) dt} = 0 + \int_{0}^{3}{ 2 dt} = 0 +2 \int_{0}^{3}{ dt} = 6 $$

Ho così ottenuto la legge oraria del moto rettilineo uniforme x(t) a partire dalla velocità v(t).

$$ \begin{array}{c|rc} t & x(t) \\ \hline 0 & 0 \\ 1 & 2 \\ 2 & 4 \\ 3 & 6 \end{array} $$

Esempio 2

Ora risolvo il precedente problema senza il calcolo integrale usando la seguente formula:

$$ x(t)=x_0+v(t-t_0) $$

Il risultato è sempre lo stesso

$$ x(0)=0+2(0-0) = 0 $$

$$ x(1)=0+2(1-0) = 2 $$

$$ x(2)=0+2(2-0) = 4 $$

$$ x(3)=0+2(3-0) = 6 $$

E così via.