Esercizio sulle tensioni in una fune
Un corpo di massa 10,0 kg è appeso al soffitto in equilibrio mediante due funi che formano un angolo di 30° rispetto alla verticale, qual è la la tensione in ciascuna delle funi.
Per risolvere questo problema, userò le condizioni di equilibrio statico: il corpo è fermo, quindi la somma delle forze in ogni direzione deve essere zero.
Il corpo ha una massa $m = 10{,}0,\text{kg} $ e le due funi formano un angolo $ \theta = 30^\circ $ rispetto alla verticale.
Le funi sono simmetriche, quindi la tensione è la stessa in entrambe $ T_1 = T_2 $.
Scelgo come sistema di riferimento la verticale come asse $ y $ e la retta perpendicolare all'estremità della fune come asse $ x $.
Le tensioni sono i vettori sulle funi mentre la forza peso è il vettore che spinge il corpo verso il basso.
Poiché non viene detto nulla sulla massa della fune, presumo che non sia significativa.
I vettori $ \vec{ T }_1 $ e $ \vec{ T }_2 $ non si trovano sugli assi, quindi uso il metodo della proiezione per scomporli.
In condizioni di equilibrio la somma delle forze sull'asse x e sull'asse y è nulla.
Quindi, la somma delle componenti verticali delle tensioni deve equilibrare il peso:
$$ \begin{cases} T_{1y} + T_{2y} - P = 0 \\ \\ -T_{1x} + T_{2x} = 0 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} T_{1y} + T_{2y} - P = 0 \\ \\ T_{1x} = T_{2x} \end{cases} $$
Calcolo la forza peso del corpo.
$$ P = mg = 10,0 \cdot 9,8 = 98 \ N $$
Poi sostituisco la forza peso nel sistema.
$$ \begin{cases} T_{1y} + T_{2y} - 98 \ N = 0 \\ \\ T_{1x} = T_{2x} \end{cases} $$
$$ \begin{cases} T_{1y} + T_{2y} = 98 \ N \\ \\ T_{1x} = T_{2x} \end{cases} $$
Sostituisco $ T_{1y} = T_1 \cdot \cos 30° $ e $ T_{2y} = T_2 \cdot \cos 30° $
$$ \begin{cases} T_1 \cdot \cos 30° + T_2 \cdot \cos 30° = 98 \ N \\ \\ T_{1x} = T_{2x} \end{cases} $$
$$ \begin{cases} (T_1 + T_2 ) \cdot \cos 30° = 98 \ N \\ \\ T_{1x} = T_{2x} \end{cases} $$
$$ \begin{cases} (T_1 + T_2 ) = \frac{ 98 \ N }{ \cos 30° } \\ \\ T_{1x} = T_{2x} \end{cases} $$
$$ \begin{cases} (T_1 + T_2 ) = \frac{ 98 \ N }{ 0.866 } \\ \\ T_{1x} = T_{2x} \end{cases} $$
$$ \begin{cases} (T_1 + T_2 ) = 113,16 \ N \\ \\ T_{1x} = T_{2x} \end{cases} $$
La somma delle due tensioni è uguale a $ T_{1y}+T_{2y} = 113,16 N $ e poiché sono simmetriche, deduco che ciascuna tensione è pari alla metà della somma.
Sapendo che $ T_1 = T_2 $
$$ T_1 + T_2 = 113,16 \ N $$
$$ T_1 + T_1 = 113,16 \ N $$
$$ 2T_1 = 113,16 \ N $$
$$ T_1 = \frac{113,16}{2} \ N $$
$$ T_1 = 56,58 \ N $$
Di conseguenza anche $ T_2 = 56,58 \ N $
$$ T_1 + T_2 = 113,16 \ N $$
$$ 56,58 \ N + T_2 = 113,16 \ N $$
$$ T_2 = 113,16 \ N - 56,58 \ N $$
$$ T_2 = 56,58\ N $$
Pertanto, la tensione in ciascuna fune è $ T_1 = T_2 = 56,58 \ N $
E così via.
