Esercizi sulla forza elastica in una molla
Una raccolta di esercizi svolti e spiegati passo passo per risolvere problemi di fisica sulla forza elastica di una molla.
Esercizio 1
Una molla con costante elastica k=480 N/m è fissata in verticale al soffitto e ha una lunghezza a riposo di L0=18 cm. Quanto si allunga la molla se viene appeso un oggetto di 4,4 kg e la molla è in equilibrio?
Fisso come sistema di riferimento l'asse y parallelo alla molla e l'asse x perpendicolare alla molla e come origine il centro di massa dell'oggetto.
In condizioni di equilibrio la forza peso che spinge verso il basso è uguale alla forza elastica che spinge verso l'alto.
$$ \vec{F_e} - \vec{P} =0 $$
Pertanto, i moduli delle due forze devono essere di uguale intensità.
$$ F_e = P $$
La forza elastica è $ F_e = k \cdot x $, dove $ k = 480 \ N/m $ è la costante elastica della molla e $ x $ è l'allungamento della molla.
$$ k \cdot x = P $$
$$ 480 \ N/m \cdot x = P $$
La forza peso è $ P=m \cdot g $, dove $ m = 4,4 \ kg $ è la massa dell'oggetto e $ g $ è l'accelerazione gravitazionale che sulla Terra è in media $ g=9,81 \ N/kg $
$$ 480 \ N/m \cdot x = m \cdot g $$
$$ 480 \ N/m \cdot x = 4,4 \ kg \cdot 9,81 \ N/kg $$
$$ 480 \ N/m \cdot x = 4,4 \cdot 9,81 \ N $$
$$ 480 \ N/m \cdot x = 43,16 \ N $$
A questo punto ricavo l'allungamento della molla $ x $
$$ x = \frac{43,16 \ N}{480 \ N/m} $$
$$ x = \frac{43,16 }{480 } \ m $$
$$ x = 0,09 \ m $$
Converto la misura in centimetri.
$$ x = 9 \ cm $$
Quindi, la molla si allunga di 9 cm quando è in equilibrio con l'oggetto appeso.
Sapendo che la lunghezza riposo della molla è $ L_0 = 18 \ cm $, la lunghezza in equilibrio della molla è 27 cm.
$$ L = L_0 + x = 18 \ cm + 9 \ cm = 27 \ cm $$
Esercizio 2
In una molla con costante elastica k=250 N/m fissata al soffito in verticale è appeso un oggetto che pesa m = 0,320 kg. Sapendo che la molla a riposo è lunga 10 cm e circa 10,79 cm quando è appeso l'oggetto in equilibrio (ossia fermo), qual è l'accelerazione di gravità?
Prendo come sistema cartesiano di riferimento l'asse y parallelo alla molla in verticale e come asse y quello perpendicolare alla molla.
In questo esercizio le forze sono distribuite solo sull'asse verticale $ y $.
In condizioni di equilibrio la forza peso $ P $ deve eguagliare la forza elastica $ F_e $.
$$ P = F_e $$
Dove la forza peso è $ P=m \cdot g $ ossia la massa $ m $ del corpo per l'accelerazione di gravità $ g $.
$$ mg = F_e $$
La forza elastica è la legge di Hooke, il cui modulo è $ F_e = k \cdot x $, ossia la costante elastica $ k $ della molla per l'allungamento $ x $ della molla stessa.
$$ mg = kx $$
In questo caso la massa del corpo è $ m=0,320 \ kg $
$$ 0,320 \ kg \cdot g = kx $$
La costante elastica della molla è $ k = 250 \ N/m $.
$$ 0,320 \ kg \cdot g = 250 \ N/m \cdot x $$
La lunghezza della molla con il corpo appeso in equilibrio è 10,79 cm, quindi l'allungamento della molla è $ x=0,79 \ cm $ considerando che a riposo la molla è lunga 10 cm.
$$ 0,320 \ kg \cdot g = 250 \ N/m \cdot 0,79 \ cm $$
Converto la lunghezza $ x $ in metri e semplifico.
$$ 0,320 \ kg \cdot g = 250 \ N/m \cdot 0,0079 \ m $$
$$ 0,320 \ kg \cdot g = 250 \ N \cdot 0,0079 $$
$$ 0,320 \ kg \cdot g = 1,19 \ N $$
Infine, ricavo l'accelerazione di gravità.
$$ g = \frac{1,19 \ N }{0,320 \ kg} $$
$$ g = 3,7 \ N/kg $$
L'accelerazione di gravità è $ g=3,7 \ N/kg $ che equivale a quella che si trova sul pianeta Marte.
Esercizio 3
Una molla con costante elastica $ k = 320 \ N/m $ è fissata all'estremità superiore al soffitto ed è collegata a un oggetto di massa $ m =3,1 \ kg $ all'estremità inferiore. Qual è l'intensità della forza elastica? Quanto si allunga la molla quando è in equilibrio?
Prendo come sistema di riferimento l'asse y parallela alla molla e l'asse x perpendicolare, con l'origine sul centro di massa dell'oggetto.
Quando la molla è in equilibrio le forze che spingono verso l'alto (forza elastica) sono di pari intensità a quelle che spingono verso il basso (forza peso).
$$ \vec{F_e} - {P} = 0 $$
$$ \vec{F_e} = {P} $$
Le forze sono entrambe allineate con l'asse y, quindi posso misurare l'intensità (modulo) delle forze, sapendo che $ P=mg $.
$$ F_e = m \cdot g $$
La massa dell'oggetto è $ m=3,1 \ kg $ mentre l'accelerazione di gravità $ g=9,81 \ N/ kg $.
$$ F_e = 3,1 \ kg \cdot 9,81 \ N/kg $$
$$ F_e = 3,1 \cdot 9,81 \ N $$
$$ F_e = 30,4 \ N $$
Quindi, la forza elastica che agisce verso l'alto deve essere pari a $ F_e = 30,4 \ N $ per controbilanciare la forza peso $ P = 30,4 \ N $ che agisce in senso opposto, verso il basso.
Una volta nota la forza elastica, posso ottenere facilmente anche l'allungamento della molla tramite la legge di Hooke.
$$ F_e = k \cdot x $$
Sostituisco la costante elastica $ k = 320 / N/m $ e la forza elastica $ F_e = 30,4 \ N $.
$$ 30,4 \ N = 320 \ N/m \cdot x $$
Quindi, ricavo l'allungamento $ x $
$$ x = \frac{30,4 \ N}{320 \ N/m } $$
$$ x = \frac{30,4}{320} \ m $$
$$ x = 0,095 \ m $$
La molla si allunga di 0,095 metri ossia di 9,5 centimetri.
E così via.
