Esercizio di fisica 2
Una cassa di 80 kg si trova su un piano inclinato di 20° ed è in equilibrio, non si muove, qual è la forza di attrito statico? Se la cassa comincia a muoversi a 30°, qual è il coefficiente di attrito statico?
Prendo come sistema di riferimento il piano come asse x e la perpendicolare al piano come asse y.
Per prima cosa calcolo il modulo della forza peso del corpo.
$$ P = m \cdot g $$
Dove $ m = 80 \ kg $ è la massa del corpo e $ g = 9,81 \ N/kg $ è l'accerazione di gravità terrestre.
$$ P = 80 \ kg \cdot 9,81 \ N/kg $$
$$ P = 80 \ kg \cdot 9,81 \ N/kg $$
$$ P = 785 \ N $$
Il vettore della forza peso P è orientato verso il centro della Terra.
Ora scompongo il modulo della forza peso proiettandola sugli assi di riferimenti.
$$ \begin{cases}
P_x = P \cdot \sin 20° \\ \\
P_y = P \cdot \cos 20° \end{cases} $$
$$ \begin{cases}
P_x = 785 \ N \cdot 0,34 \\ \\
P_y = 785 \ N \cdot 0,94 \end{cases} $$
$$ \begin{cases}
P_x = 277 \ N \\ \\
P_y = 769 \ N \end{cases} $$
Quindi, le componenti della forza peso sugli assi x e y sono Px e Py.
La forza di attrito statico $ F_s $ è la forza che si oppone allo scivolamento della cassa sul piano.
$$ F_s = P_x = 277 \ N $$
Quindi, la forza di attrito statico è $ F_s = 277 \ N $
La seconda domanda mi chiede di trovare il coefficiente di attrito sapendo $ \mu_s $ sapendo che la cassa comincia a muoversi quando il piano è inclinato di 30°.
La forza di attrito statico massimo è
$$ F_{s,max} = \mu_s \cdot F_N $$
Tenendo a mente questa formula, ricalcolo la forza normale quando il piano è inclinato di 30°.
$$ \begin{cases}
P_x = P \cdot \sin 30° \\ \\
P_y = P \cdot \cos 30° \end{cases} $$
$$ \begin{cases}
P_x = 785 \ N \cdot 0,5 \\ \\
P_y = 785 \ N \cdot 0,87 \end{cases} $$
$$ \begin{cases}
P_x = 393 \ N \\ \\
P_y = 683 \ N \end{cases} $$
La forza normale $ F_N $ è la forza perpendicolare al piano, di reazione vincolare, che si oppone alla forza peso.
$$ F_N = P_y = 683 \ N $$
La forza di attrito statico è invece
$$ F_s = P_x = 393 \ N $$
Poiché la cassa comincia a muoversi, questa è anche la forza di attrito statico massimo.
$$ F_{s,max} = 393 \ N $$
A questo punto, torno alla formula dell'attrito statico max e sostituisco i valori che ho appena trovato.
$$ F_{s,max} = \mu_s \cdot F_N $$
$$ 393 \ N = \mu_s \cdot 683 \ N $$
$$ \mu_s = \frac{ 393 \ N }{ 683 \ N} $$
$$ \mu_s = 0,58 $$
Il coefficiente di attrito statico è 0,58.
Se il piano ha una inclinazione di 10° quale è il coefficiente di attrito statico minimo che impedisce alla cassa di scivolare?
In questo caso si parte dal fatto che il piano è inclinato di 10°.
Devo calcolare il coefficiente di attrito statico minimo che mantiene ferma la cassa a questa angolazione.
Sapendo che la forza di attrito statico massimo è
$$ F_{s,max} = \mu_s \cdot F_N $$
Calcolo la forza di attrito statico e la forza normale della cassa quando il piano è inclinato di 10°
$$ \begin{cases}
P_x = P \cdot \sin 10° \\ \\
P_y = P \cdot \cos 10° \end{cases} $$
$$ \begin{cases}
P_x = 785 \ N \cdot 0,17 \\ \\
P_y = 785 \ N \cdot 0,98 \end{cases} $$
$$ \begin{cases}
P_x = 136 \ N \\ \\
P_y = 773 \ N \end{cases} $$
Dove $ F_s= 136 \ N $ e $ F_N = 773 \ N $
Per ipotesi considero $ F_s = F_{s,max} $ e sostituisco i dati nella formula della forza di attrito statico massimo.
$$ F_{s,max} = \mu_s \cdot F_N $$
$$ 136 \ N = \mu_s \cdot 773 \ N $$
$$ \mu = \frac{ 136 \ N }{773 \ N} $$
$$ \mu = 0,18 $$
Questo significa che la cassa comincia a muoversi quando il coefficiente di attrito è $ \mu = 0,18 $ sul piano inclinato di 10°.
Quindi, la cassa resta ferma per coefficienti di attrito statico maggiori di $ \mu > 0,18 $.
Se la cassa inizia a scivolare quando il coefficiente di attrito statico massimo è 0,4 qual è l'inclinazione massima del piano?
Per rispondere a questa domanda considero la formula dell'attrito statico massimo.
$$ F_{s,max} = \mu_s \cdot F_N $$
Poiché conosco già il coefficiente di attrito posso sostituirlo nella formula.
$$ F_{s,max} = 0,4 \cdot F_N $$
Calcolo la forza di attrito statico e la forza normale, considerando l'angolazione $ \theta $ del piano come una incognita.
$$ \begin{cases}
P_x = P \cdot \sin \theta \\ \\
P_y = P \cdot \cos \theta \end{cases} $$
$$ \begin{cases}
P_x = 785 \ N \cdot \sin \theta \\ \\
P_y = 785 \ N \cdot \cos \theta \end{cases} $$
Dove $ F_s= 785 \ N \cdot \sin \theta \ N $ e $ F_N = 785 \ N \cdot \cos \theta \ N $
Poi sostituisco i dati appena trovati nella formula dell'attrito statico.
$$ F_{s,max} = 0,4 \cdot F_N $$
$$ 785 \ N \cdot \sin \theta = 0,4 \cdot ( 785 \ N \cdot \cos \theta ) $$
$$ 785 \ N \cdot \sin \theta = 314 \ N \cdot \cos \theta $$
$$ \frac{ \sin \theta }{ \cos \theta } = \frac{ 314 \ N }{ 785 \ N } $$
$$ \frac{ \sin \theta }{ \cos \theta } = 0,4 $$
Sapendo che $ \frac{ \sin \theta }{ \cos \theta } = \tan \theta $
$$ \tan \theta = 0,4 $$
A questo punto calcolo l'arcotangente di 0,4 e ottengo l'angolo $ \theta $ che cercavo
$$ \theta = \tan^{-1} (0,4 ) = 21,8° $$
Quindi, la cassa comincia a muoversi quando il piano raggiunge un angolo di 21,8°.
E così via.
