Resistori in parallelo
Due o più resistori in parallelo possono essere sostituiti con un unico resistore equivalente usando la seguente formula: $$ R_{eq} = \frac{R_1R_2}{R_1+R_2} $$ Se i resistori sono N>2 è preferibile usare la seguente formula $$ R_{eq} = \frac{1}{\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + ... + \frac{1}{R_n}} $$
Il resistore equivalente Req ha sempre una resistenza elettrica inferiore rispetto al più piccolo resistore in parallelo.
Un esempio pratico
In un circuito elettrico ho tre resistori in parallelo
I resistori hanno le seguenti resistenze
$$ R_1 = 2 Ω \\ R_2 = 5 Ω \\ R_3 = 7 Ω $$
Il resistore equivalente è
$$ R_{eq} = \frac{1}{\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3}} $$
$$ R_{eq} = \frac{1}{\frac{1}{2} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7}} $$
$$ R_{eq} = \frac{1}{0.5 + 0.20 + 0.142} $$
$$ R_{eq} = \frac{1}{0.842} =1.186 Ω $$
Il resistore equivalente ai tre resistori in parallelo ha una resistenza da 1.186 Ω
Nota. Avrei ottenuto lo stesso risultato usando anche l'altra formula. Il calcolo è però più complesso.$$ R_{eq} = \frac{R_1R_2 R_3}{R_2R_3+R_1R_3+R_1R_2} \\ R_{eq} = \frac{2·5·7}{5·7+2·7+2·5} \\ R_{eq} = \frac{70}{35+14+10} \\ R_{eq} = \frac{70}{59} \\ R_{eq} = 1.186 Ω $$ Inoltre, questa formula ha lo svantaggio d'essere applicabile solo per tre resistori in parallelo. Non per quattro o più resistori.
Come calcolare due resistenze in parallelo
In un circuito elettrico ho due resistori in parallelo.
I due resistori collegati in parallelo hanno la stessa tensione.
$$ v=i_1R_1 = i_2R_2 $$
Secondo la legge di Kirchhoff (KCL) la corrente totale del nodo (a) è uguale a
$$ i = i_1+i_2 $$
Dalla legge di Ohm so già che la tensione dei resitori è uguale a :
$$ v = i_1 R_1 \\ v = i_2 R_2 $$
Metto in evidenza la corrente
$$ i_1 = \frac{v}{R_1} \\ i_2 = \frac{v}{R_2} $$
Sostituisco i1 e i2 nella legge KCL
$$ i = i_1+i_2 $$
$$ i = \frac{v}{R_1} + \frac{v}{R_2} $$
$$ i = v ( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} ) $$
Posso considerare i due resistori come un unico resistore equivalente:
$$ \frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} $$
$$ \frac{1}{R_{eq}} = \frac{R_1+R_2}{R_1R_2} $$
In questo modo posso riscrivere l'equazione della corrente usando un solo resistore (Req) anziché due.
$$ i = v ( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} ) $$
$$ i = v ( \frac{1}{R_eq} ) $$
$$ i = \frac{v}{R_eq} $$
Nota. Il resistore equivalente è uguale al prodotto delle resistenze diviso per la loro somma. $$ R_{eq} = \frac{R_1R_2}{R_1+R_2} $$
E anche l'equazione della tensione
$$ v = i \cdot R_{eq} $$
Il principio della divisione della corrente
Dalla formula del resistore equivalente si ricava il principio della divisione della corrente $$ i_1 = \frac{R_2}{ (R_1+R_2)} \cdot i $$ $$ i_2 = \frac{R_1}{ (R_1+R_2)} \cdot i $$ che permette di calcolare le correnti nei singoli resistori in parallelo.
Per spiegare la divisione della corrente riprendo il circuito con due resistori in parallelo
L'equazione della tensione del circuito è
$$ v = i \cdot R_{eq} $$
$$ v = i \cdot \frac{R_1R_2}{R_1+R_2} $$
Sapendo che la tensione è la stessa in entrambi i resistori in parallelo
$$ v=i_1R_1 = i_2R_2 $$
Posso sostituire v con i1R1 (oppure con i2R2) e ottenere la corrente che scorre nel resistore R1.
$$ v = i \cdot \frac{R_1R_2}{R_1+R_2} $$
$$ i_1R_1 = i \cdot \frac{R_1R_2}{R_1+R_2} $$
$$ i_1 = i \cdot \frac{R_1R_2}{R_1 \cdot (R_1+R_2)} $$
$$ i_1 = \frac{R_2}{ (R_1+R_2)} \cdot i $$
Nota. Allo stesso modo posso sostituire v con i2R2 per calcolare la corrente che scorre nel resistore R2. $$ i_2 = \frac{R_1}{ (R_1+R_2)} \cdot i $$
Nel circuito di esempio le correnti i1 e i2 sono
$$ i_1 = \frac{R_2}{ (R_1+R_2)} \cdot i = \frac{10}{ (10+100)} \cdot 2 = \frac{10}{ 55} = 0.18 A $$
$$ i_2 = \frac{R_1}{ (R_1+R_2)} \cdot i = \frac{100}{ (10+100)} \cdot 2 = \frac{100}{ 55} = 1.81 A $$
Come calcolare tre o più resistenze in parallelo
La formula precedente vale anche se le resistenze sono più di due.
Ad esempio, se ho tre resistori R1, R2 e R3 in parallelo
$$ \frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} $$
$$ \frac{1}{R_{eq}} = \frac{R_2R_3+R_1R_3+R_1R_2}{R_1R_2 R_3} $$
$$ R_{eq} = \frac{R_1R_2 R_3}{R_2R_3+R_1R_3+R_1R_2} $$
Il calcolo però diventa sempre più difficile con il numero dei resistori.
Esempio. Se ho quattro resistori R1, R2 , R3 e R4 in parallelo $$ R_{eq} = \frac{R_1R_2 R_3 R_4}{R_2R_3R_4+R_1R_3R_4+R_1R_2R_4+R_1R_2R3} $$
Per questa ragione, per calcolare il resistore equivalente di tre resistori in parallelo è meglio usare quest'altra formula.
$$ R_{eq} = \frac{1}{\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3}} $$
La formula generale di n resistori in parallelo è
$$ R_{eq} = \frac{1}{\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + ... + \frac{1}{R_n}} $$
La conduttanza equivalente
La resistenza e la conduttanza sono concetti opposti.
$$ R = \frac{1}{G} $$
Quindi, posso calcolare il resistore equivalente dei resistori in parallelo anche usando le conduttanze (G) anziché la resistenze (R).
$$ R_{eq} = \frac{1}{G_1 + G_2 + ... + G_n} $$
Il risultato è sempre lo stesso.
La conduttanza equivalente è
$$ G_{eq} = G_1 + G_2 + ... + G_n $$
E così via.
