Regola del partitore di corrente
Secondo la regola del partitore, la corrente si ripartisce tra due resistori in parallelo in proporzione inversa al valore della loro resistenza.
Pertanto, la corrente scorre di più nella resistenza più piccola, perché ha una conduttanza maggiore.
Dimostrazione
Ho un circuito elettrico con due resistori in parallelo.
La tensione è la stessa in entrambi i resistori.
$$ v=i_1 R_1 = i_2 R_2 $$
Pertanto, la corrente dipende dalla resistenza.
$$ i_1 = \frac{v}{R_1} \\ i_2 = \frac{v}{R_2} $$
Il resistore equivalente del circuito è
$$ R_{eq} = \frac{R_1R_2}{R_1+R_2} $$
ossia
$$ v= i R_{eq} = i \frac{R_1R_2}{R_1+R_2} $$
Pertanto, posso riscrivere la formula della corrente i1
$$ i_1 = \frac{i \frac{R_1R_2}{R_1+R_2}}{R_1} $$
$$ i_1 = i \frac{R_1R_2}{R_1+R_2} \frac{1}{R_1} $$
$$ i_1 = i \frac{R_2}{R_1+R_2} $$
e anche quella della corrente i2
$$ i_2 = \frac{v}{R_2} $$
$$ i_2 = \frac{i \frac{R_1R_2}{R_1+R_2}}{R_2} $$
$$ i_2 = i \frac{R_1R_2}{R_1+R_2} \frac{1}{R_2} $$
$$ i_2 = i \frac{R_1}{R_1+R_2} $$
Le due formule determinano la corrente in entrata nei due resistori e dimostrano che la corrente totale si ripartisce in proporzione inversa alla resistenza.
Nota. Se a resistenza R2=0 (corto circuito) tutta la corrente scorre nel cortocircuito perché ha meno resistenza. La corrente evita il percorso di maggiore resistenza dove si trova R1. Quindi, i2=i. $$ i_2 = i \frac{R_1}{R_1+R_2} = i \frac{R_1}{R_1+0} = i $$ $$ i_1 = i \frac{R_2}{R_1+R_2} = i \frac{0}{R_1+0} = 0 $$ Se invece la resistenza R2=∞ (circuito aperto) tutta la corrente scorre in R1 perché il percorso di minima resistenza. $$ \lim _{R_2 \rightarrow ∞} R_{eq} = \lim _{R_2 \rightarrow ∞} \frac{R_1R_2}{R_1+R_2} = R_1$$
La conduttanza
La regola del partitore vale anche per la conduttanza.
$$ i_1 = i \frac{R_2}{R_1+R_2} $$
$$ i_2 = i \frac{R_1}{R_1+R_2} $$
Divido numeratore e denominatore per R1R2
$$ i_1 = i \frac{\frac{R_2}{R_1R_2}}{\frac{R_1+R_2}{R_1R_2}} = i \frac{\frac{1}{R_1}}{ \frac{1}{R_2}+\frac{1}{R_1}} $$
$$ i_2 = i \frac{\frac{R_1}{R_1R_2}}{\frac{R_1+R_2}{R_1R_2}} = i \frac{\frac{1}{R_2}}{ \frac{1}{R_2}+\frac{1}{R_1}} $$
Poiché
$$ G_1 = \frac{1}{R_1} $$
$$ G_2 = \frac{1}{R_2} $$
Quindi posso riscrivere le precedenti formule in questo modo
$$ i_1 = i \frac{G_1}{ G_2+G_1} $$
$$ i_2 = i \frac{G_2}{ G_1+G_2} $$
In generale se i rami sono n si ottiene la formula generale
$$ i_n = i \frac{G_n}{ G_1+G_2+...+G_n} $$
E così via.
