Modello prede-predatori
Il modello prede-predatori simula l'evoluzione delle popolazioni di prede e predatori in un ambiente isolato. E' stato elaborato da Vito Volterra nei primi anni del XX secolo. $$ \begin{cases} \frac{dx}{dt} = (A-By)x \\ \\ \frac{dy}{dt} = (Cx-D)y \end{cases} $$
Dove x=x(t) è il numero di prede mentre y(t) è il numero di predatori nell'istante t.
I parametri A,B,C,D sono parametri positivi che caratterizzano l'interazione tra le due specie
Il modello consiste in due equazioni differenziali che determinano il tasso di variazione delle popolazioni di prede dx/dt e di predatori dy/dt nel corso del tempo a partire da un momento iniziale.
Le condizioni iniziali del modello indicano la quantità di prede e predatori nel momento iniziale t=0 della simulazione
$$ y(0)=y_0 $$
$$ x(0)=x_0 $$
Una volta fissate le condizioni iniziali x(0) e y(0) e i parametri A,B,C,D, il modello simula l'interdipendenza tra le variazioni di popolazione delle prede e delle predatori nel tempo.
$$ x(t) = x(t-1) + \frac{dx}{dt} $$
$$ y(t) = y(t-1) + \frac{dy}{dt} $$
Ecco un esempio pratico di evoluzione. La linea rossa indica i predatori mentre quella blu le prede.
Nota. Inizialmente la popolazione delle prede cresce rapidamente (linea blu) perché i predatori sono pochi. In un secondo momento cresce anche la popolazione dei predatori (linea rossa) fino a oltrepassare il limite della sostenibilità. La crescita eccessiva dei predatori riduce rapidamente quella delle prede e successivamente quella dei predatori stessi. E via dicendo in una continua rincorsa tra prede e predatori.
Per fare questo esempio ho scritto un codice in linguaggio Python fissando la popolazione iniziale a x0=100 (prede) e y0=50 (predatori) dei parametri A,B,C,D a caso.
Modificando i parametri A, B, C, D il modello dinamico evolve in modo completamente differente.
Ad esempio, se dimezzo il parametro A da 0.1 a 0.05 l'evoluzione delle due popolazioni è più lenta.
Viceversa, se raddoppio il parametro A da 0.1 a 0.2 entrambe le popolazioni si estinguono.
Una volta estinta la popolazione delle prede (linea blu) segue l'estinzione anche della popolazione dei predatori (linea rossa).
Il modello prede-predatori è un esempio di utilizzo pratico delle equazioni differenziali in un modello di simulazione matematico.
E così via.
