Resto di Lagrange
Se una funzione f(x) è derivabile n+1 volte con continuità in un intorno [x0-d,x0+d] allora per ogni x dell'intorno esiste un punto c compreso tra x e x0 tale che $$ R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!} (x-x_0)^{n+1} $$
La rappresentazione di Lagrange del resto del polinomio di Taylor mi permette di stimare il resto R nell'intorno x0 e ottenere un grado di approssimazione della funzione tramite il polinomio di Taylor.
La dimostrazione
Il resto del polinomio di Taylor nella forma integrale è
$$ R_n(x) = \frac{1}{n!} \int_{x_0}^x (x-t)^n f^{(n+1)}(t) \: dt $$
Applico il teorema della media pesata dell'integrale
$$ \int_a^b f(x)g(x) \: dx = f(c) \int_a^b g(x) \: dx $$
al precedente integrale considerando a=x0 e b=x e
$$ f(x) = f^{(n+1)}(t) $$
$$ g(x) = (x-t)^n $$
e ottengo
$$ \int_{x_0}^x f^{(n+1)}(t) \cdot (x-t)^n \: dt = f^{(n+1)}(c) \int_{x_0}^x (x-t)^n \: dt $$
Quindi sostituisco l'integrale nella formula iniziale
$$ R_n(x) = \frac{1}{n!} \int_{x_0}^x (x-t)^n f^{(n+1)}(t) \: dt $$
$$ R_n(x) = \frac{1}{n!} f^{(n+1)}(c) \int_{x_0}^x (x-t)^n \: dt $$
Ora risolvo l'integrale sapendo che la primitiva è -(x-t)n+1/(n+1)
$$ R_n(x) = \frac{1}{n!} f^{(n+1)}(c) [ -\frac{(x-t)^{n+1}}{n+1} ]^x_{x_0} $$
Nota. Si tratta di una derivata di una funzione composta. $$ D[-\frac{(x-t)^{n+1}}{n+1}] = -1 \cdot D[-\frac{(x-t)^{n+1}}{n+1}] \cdot D[x-t] = -1 \cdot \frac{(n+1)(x-t)^n}{(n+1)} \cdot -1 = (x-t)^n $$
$$ R_n(x) = \frac{1}{n!} f^{(n+1)}(c) ( -\frac{(x-x)^{n+1}}{n+1} - ( -\frac{(x-x_0)^{n+1}}{n+1} ) ) $$
$$ R_n(x) = \frac{1}{n!} f^{(n+1)}(c) \frac{(x-x_0)^{n+1}}{n+1} ) $$
$$ R_n(x) = \frac{1}{(n+1)!} f^{(n+1)}(c) (x-x_0)^{n+1} $$
Ho così dimostrato la formula del resto di Lagrange.
E così via.
