La derivata della funzione arcoseno
La derivata dell'arcoseno è $$ D[\arcsin x] = \frac{1}{ \sqrt{ 1 - x^2 } } $$
La formula di derivazione si ottiene considerando che l'arcoseno è la funzione inversa del seno.
Nota. In trigonometria la funzione arcoseno (arcsin) è la funzione inversa del seno nell'intervallo [-π/2,π/2]
Cos'è l'arcoseno
La funzione seno non è monotona in tutto il campo di definizione dei numeri reali (R).
Tuttavia, posso considerarla una funzione continua e monotona prendendo in considerazione soltanto l'intervallo [-π/2,π/2].
In questo intervallo il seno assume tutti i valori tra il suo minimo (-1) e il suo massimo (1).
Essendo una funzione continua e monotona, nell'intervallo [-π/2,π2] la funzione seno è anche una funzione invertibile.
La funzione inversa del seno è detta arcoseno.
$$ f^{-1}(x) = \arcsin x $$
Perché si chiama arcoseno? Si chiama arcoseno perché misura l'arco x sulla circonferenza ossia l'angolo in radianti che determina il seno.
Essendo seno e arcoseno funzioni inverse l'una dell'altra $$ y = \sin x \\ x = \arcsin y $$ Pertanto $$ y = \sin ( \arcsin y ) \\ x = \arcsin ( \sin x ) $$
Il campo di definizione della variabile indipendente dell'arcoseno è l'intervallo chiuso [-1,1].
Quindi, posso derivare l'arcoseno nell'intervallo aperto (-1,1).
La dimostrazione e spiegazione
La funzione arcoseno è l'inversa della funzione seno.
$$ f^{-1}(f(y))= \arcsin x $$
Dove f(y) è
$$ f(y) = \sin y $$
Pertanto, posso usare la regola di derivazione delle funzioni inverse.
$$ D[f^{-1}] = \frac{1}{D[f(y) ]} $$
$$ D[\arcsin x] = \frac{1}{D[\sin y] } $$
$$ D[\arcsin x] = \frac{1}{ \cos y } $$
Nota. Sapendo che la relazione tra il coseno e il seno è $$ \cos y = \sqrt{ 1 - \sin^2 y} $$
$$ D[\arcsin x] = \frac{1}{ \sqrt{ 1 - \sin^2 y} } $$
Nota. Sapendo che $$ y= \arcsin x $$ Quindi $$ \sin y = \sin( \arcsin x ) = x $$ Posso modificare il denominatore, eliminare la variabile e reintrodurre la x. $$ \sin^2 y = \sin^2( \arcsin x ) = x^2 $$
$$ D[\arcsin x] = \frac{1}{ \sqrt{ 1 - x^2 } } $$
In questo modo ho dimostrato la formula di derivazione dell'arcoseno.
Nota. La funzione arcoseno non è derivabile per x=1 e x=-1 perché arcsin(1)=π/2 e arcsin(-1)=-π/2. In questi punti il seno è uguale a ±1. $$ \sin π/2 = 1 \\ \sin -π/2 = -1 $$ La derivata del seno è il coseno D[sin]=cos e in tali punti il coseno si annulla cos π/2=0 e cos -π/2=0.
Per questo motivo la derivata dell'arcoseno in x=±1 non è derivabile e presenta un asintoto verticale.
E così via.
