La derivata della funzione composta
La derivata di una funzione composta f[g(x)] è $$ Df[g(x)] = f'[g(x)] \cdot g'(x) $$
Un esempio pratico
Esempio 1
Questa funzione è composta da due funzioni
$$ \sin x^2 $$
Dove f(g(x)) è la funzione seno e g(x) è x2.
$$ f(g(x)) = \sin g(x) $$ $$ g(x) = x^2 $$
Applico la regola di derivazione delle funzioni composte e ottengo
$$ D[\sin x^2] \cdot D[x^2] $$
$$ \cos x^2 \cdot 2x $$
Nota. Quando nella prima componente derivo D[sin(x2)] lascio immutato il dominio (x2) e derivo soltanto la funzione seno che diventa coseno.
Esempio 2
Anche questa è una funzione composta ma la potenza è sulla funzione seno.
$$ \sin^2 x $$
Quindi la f(x) è (g(x))2 mentre la g(x) è sin(x).
$$ f(g(x)) = [ g(x) ]^2 $$ $$ g(x) = \sin x $$
Applico la regola di derivazione della funzione composta.
$$ D[(\sin x)^2] \cdot D[\sin x] $$
$$ 2 \sin x \cdot \cos x $$
La dimostrazione
Per dimostrare questa regola di derivazione prendo come riferimento iniziale la formula della derivata, ossia il limite per h→0 del rapporto incrementale di una generica funzione f(x).
$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} $$
Nel caso di una funzione composta il dominio x della funzione f(x) è il codominio di un'altra funzione g().
$$ x = g(x) $$
Pertanto, posso riscrivere il rapporto incrementale in questa forma
$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{h} $$
L'incremento della funzione g(x+h) è uguale a
$$ g(x+h) = g(x) + Δg $$
Lo sostituisco nel rapporto incrementale
$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(g(x) + Δg)-f(g(x))}{h} $$
Poi moltiplico numeratore e denominatore per g(x+h)-g(x)
$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(g(x) + Δg)-f(g(x))}{h} \cdot \frac{g(x+h)-g(x)}{g(x+h)-g(x)} $$
$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(g(x) + Δg)-f(g(x))}{g(x+h)-g(x)} \cdot \frac{g(x+h)-g(x)}{h} $$
$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(g(x) + Δg)-f(g(x))}{Δg} \cdot \frac{g(x+h)-g(x)}{h} $$
Nota. Nell'ultimo passaggio ho sostituito g(x+h)-g(x) con Δg perché $$ g(x+h) = g(x) + Δg $$ e quindi $$ Δg = g(x+h) - g(x) $$
Per la regola del prodotto di due limiti
$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(g(x) + Δg)-f(g(x))}{Δg} \cdot \lim_{h \rightarrow 0} \frac{g(x+h)-g(x)}{h} $$
E' evidente che con h tendente a zero (h→0) anche Δg tende a zero perché Δg=g(x+h)-g(x).
Quindi posso scrivere il primo limite con Δg→0
$$ \lim_{Δg \rightarrow 0} \frac{f(g(x) + Δg)-f(g(x))}{Δg} \cdot \lim_{h \rightarrow 0} \frac{g(x+h)-g(x)}{h} $$
Sono giunto al punto che mi permette di dimostrare la regola di derivazione.
Il primo fattore del prodotto dei due limiti è la derivata della f(g(x)) mentre il secondo fattore è la derivata della g(x).
$$ f'(g(x)) \cdot g'(x) $$
Ho così dimostrato la regola di derivazione delle funzioni composte.
E così via.
