Derivata dell'esponenziale
La derivata dell'esponenziale ex è $$ D[e^x] = e^x $$
Un esempio pratico
Devo calcolare la derivata prima della funzione
$$ f(x) = e^{3x} $$
Si tratta di una funzione composta.
Pertanto, devo usare la regola di derivazione delle funzioni composte.
$$ f'(x) = D[e^{3x}] \cdot D[3x] $$
La derivata dell'esponenziale è l'esponenziale stesso
$$ f'(x) = e^{3x} \cdot D[3x] $$
La derivata di 3x è 3
$$ f'(x) = e^{3x} \cdot 3 $$
Quindi, la derivata prima della funzione è
$$ f'(x) = 3e^{3x} $$
Dimostrazione e spiegazione
La funzione f(x) dell'esponenziale di x
$$ f(x)=e^x $$
è invertibile e la sua funzione inversa è
$$ x = \log f(x) $$
Pertanto, posso usare la regola di derivazione della funzione inversa
$$ D[f] = \frac{1}{D[f^{-1}]} $$
$$ D[e^x] = \frac{1}{D[\log f(x)]} $$
Sapendo che la derivata del logaritmo è 1/x
$$ D[e^x] = \frac{1}{\frac{1}{f(x)}} $$
$$ D[e^x] = f(x) $$
poiché f(x) è uguale a ex
$$ D[e^x] = e^x $$
Ho così dimostrato la regola di derivazione dell'esponenziale.
E così via.
