Come controllare se i vettori sono linearmente dipendenti o indipendenti
Per verificare se i vettori sono linearmente dipendenti o indipendenti verifico se esiste una combinazione lineare dei vettori uguale a zero.
$$ a_1 v_1 + ... + a_n v_n = 0 $$
Se esiste i vettori sono linearmente dipendenti.
E se non esiste? Se il problema non ha una soluzione, allora i vettori sono linearmente indipendenti. Se l'unica combinazione possibile per ottenere a1 v1 +...+ an vn = 0 è la combinazione banale ( tutti gli scalari uguali a zero ) allora i vettori sono linearmente indipendenti.
Esercizio pratico
Esempio 1
Nello spazio vettoriale R4 nel campo K=R ho un sottospazio vettoriale W definito da un sistema di generatori composto da tre vettori.
$$W = L_R (w_1, w_2, w_3) \:\:\:con \begin{cases} w_1 = (1,1,0,0) \\ w_2 = (1,2,0,1) \\ w_3= (0,1,0,1) \end{cases} $$
Verifico la combinazione lineare uguale a zero di un generico vettore v di W
$$ v = a_1 w_1 + a_2 w_2 + a_3 w_3 = 0 $$
$$ a_1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + a_2 \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + a_3 \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = 0 $$
$$ \begin{pmatrix} a_1 \\ a_1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a_2 \\ 2a_2 \\ 0 \\ a_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ a_3 \\ 0 \\ a_3 \end{pmatrix} = 0 $$
$$ \begin{pmatrix} a_1 + a_2 \\ a_1 + 2a_2 + a_3 \\ 0 \\ a_2+ a_3 \end{pmatrix} = 0 $$
Nel sistema non considero l'equazione 0=0 perché è una semplice identità e non influisce sulla soluzione del sistema.
Riscrivo l'equazione vettoriale come sistema di equazioni e lo risolvo.
$$ \begin{cases} a_1+a_2=0 \\ a_1+2a_2+a_3=0 \\ a_2+a_3=0 \end{cases} $$
Lo risolvo per sostituzione ponento a1=-a2
$$ \begin{cases} a_1=-a_2 \\ (-a_2)+2a_2+a_3=0 \\ a_2+a_3=0 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} a_1=-a_2 \\ a_2+a_3=0 \\ a_2+a_3=0 \end{cases} $$
La seconda e la terza equazione sono uguali, quindi ne elimino una.
$$ \begin{cases} a_1=-a_2 \\ a_2+a_3=0 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} a_1=-a_2 \\ a_2=-a_3 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} a_1= a_3 \\ a_2=-a_3 \end{cases} $$
Questo sistema ha infinite soluzioni
Pertanto, concludo che i vettori sono linearmente dipendenti.
Nota. Alla stessa conclusione sarei potuto giungere molto più rapidamente con un'analisi del rango della matrice dei coefficienti del sistema. $$ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} $$ Il determinante della matrice dei coefficienti è uguale a zero. $$ \det \ A = \det \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} = 0 $$ Il minore complementare più alto con determinante diverso da zero è di ordine due. $$ det \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \ne 0 $$ $$ det \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \ne 0 $$ $$ det \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \ne 0 $$ Quindi il rango della matrice dei coefficienti del sistema è uguale a 2 $$ r(A) = 2 $$ Il rango della matrice dei coefficienti è uguale al rango della matrice completa. $$ r (A) = r(A|B) = 2 $$ Quindi, sapendo che nel sistema ci sono n=3 varabili, secondo il teorema di Rouché-Capelli, il sistema ha infinite soluzioni $$ \infty^{n-r} = \infty^{3-2} = \infty \ soluzioni $$ Pertanto, presi a coppia i vettori sono linearmente indipendenti ( es. w1 e w2 ) ma presi tutti e tre insieme sono linearmente dipendenti perché il rango è inferiore alla dimensione dello spazio vettoriale.
