Come calcolare la matrice a gradini con Gauss Jordan

In questo esempio pratico calcolo la matrice a gradini usando il metodo di eliminazione di Gauss-Jordan.

La matrice iniziale è la seguente:

$$ \begin{pmatrix} 2 & 0 & x_1 \\ 1 & 3 & x_2 \\ 1 & 0 & x_3 \\ 0 & 1 & x_4 \end{pmatrix} $$

Sostituisco la prima riga con la seconda (R1⇔R2)

$$ \begin{pmatrix} 1 & 3 & x_2 \\ 2 & 0 & x_1 \\ 1 & 0 & x_3 \\ 0 & 1 & x_4 \end{pmatrix} $$

Poi annullo i valori sottostanti al pivot della prima colonna.

$$ \begin{pmatrix} 1 & 3 & x_2 \\ 2-(2/1)1 & 0-(2/1)3 & x_1-(2/1)x_2 \\ 1-(1/1)1 & 0-(1/1)3 & x_3-(1/1)x_2 \\ 0 & 1 & x_4 \end{pmatrix} $$

$$ \begin{pmatrix} 1 & 3 & x_2 \\ 0 & -6 & x_1 - 2x_2 \\ 0 & -3 & x_3-x_2 \\ 0 & 1 & x_4 \end{pmatrix} $$

Ora scambio la posizione della seconda riga con la quarta (R2⇔R4)

In questo modo ottengo il secondo gradino ossia il secondo pivot della matrice.

$$ \begin{pmatrix} 1 & 3 & x_2 \\ 0 & 1 & x_4 \\ 0 & -6 & x_1 - 2x_2 \\ 0 & -3 & x_3-x_2 \end{pmatrix} $$

Quindi annullo i valori sottostanti al secondo pivot.

$$ \begin{pmatrix} 1 & 3 & x_2 \\ 0 & 1 & x_4 \\ 0 & -6+(6/1)1 & x_1 - 2x_2 +(6/1)x_4 \\ 0 & -3+(3/1)1 & x_3-x_2+(3/1)x_4 \end{pmatrix} $$

$$ \begin{pmatrix} 1 & 3 & x_2 \\ 0 & 1 & x_4 \\ 0 & 0 & x_1 - 2x_2 +6x_4 \\ 0 & 0 & x_3-x_2+3x_4 \end{pmatrix} $$

Ho così ottenuto la matrice a gradini.