Vettore T invariante minimale

Cos'è un vettore T-invariante

Un vettore T-Invariante y è detto minimale se non esiste un altro vettore T-invariante y' tale che $$y' < y$$

A cosa serve?

Ogni vettore T-invariante non minimale è determinato da una combinazione lineare con coefficienti interi di uno o più vettori T-invarianti minimali.

Nota. Un vettore T-invariante minimale può essere di supporto minimo oppure no.

Un esempio pratico

Prendo in considerazione una rete marcata con due posti e tre transizioni

Calcolo la matrice di incidenza C della rete tramite la differenza tra la matrice Post e Pre transizione.

$$C = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} =$$

$$C = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & -1 \end{pmatrix}$$

Il vettore y = [1 1 1] è T-invariante perché

$$C \cdot y_I = 0$$

$$\begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$

I supporti del T-vettore invariante y sono

$$||y|| = \{ t_1 \: t_2 \: t_3 \}$$

Si tratta di un vettore T-invariante minimale perché non esiste un altro vettore T-invariante inferiore y'<y

Ad esempio, tutti i vettori non nulli minori di y non sono T -invarianti.

$$C \cdot [1,0,0]^T = [-1, 2] \\ C \cdot [0,1,0]^T = [1, -1] \\ C \cdot [0,0,1]^T = [0, -1] \\ C \cdot [1,1,0]^T = [0, 1] \\ C \cdot [1,0,1]^T = [-1, 1] \\ C \cdot [0,1,1]^T = [1, -2]$$

Nella rete esistono altri vettori T-invarianti non minimali.

Ad esempio il vettore y'=[2 2 2] è T-invariante ma non è minimale perché non è y'<y.

$$\begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$

Nota. Il vettore T-invariante y'=[2 2 2] si può ottenere come combinazione lineare del vettore T-invariante minimale y=[1 1 1]. $$y'= \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} = a \cdot y$$ $$y'= \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} = a \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$$ con i coefficienti interi a=[2,2,2]^T.

E così via.