Vettori P-T crescenti, decrescenti, invarianti (rete di Petri)
Questa definizione è riferita allo studio di una rete di Petri tramite la matrice di incidenza.
I vettori P
Un vettore x non nullo con interi non negativi moltiplicato per la matrice di incidenza C della rete $$ x^T \cdot C $$ è detto
- P-invariante se $$ x^T \cdot C = 0^T $$
- P-crescente se se $$ x^T \cdot C ≥ 0^T $$
- P-decrescente se $$ x^T \cdot C ≤ 0^T $$
Sono detti supporti del P-vettore i posti in cui il vettore ha elementi positivi. Si indicano con ||x||
I vettori T
Se inverto l'ordine dei fattori il vettore è detto
- T-invariante se $$ C \cdot x = 0 $$
- T-crescente se $$ C \cdot x ≥ 0 $$
- T-decrescente se $$ C \cdot x ≤ 0 $$
Sono detti supporti del T-vettore le transizioni in cui il vettore ha elementi positivi. Si indicano con ||y||
Nota. Non è detto che esista sempre un P-vettore (Posti vettore) e un T-vettore (Transizioni vettore). In alcune reti può mancare uno dei due oppure entrambi.
Un esempio pratico
Esempio 1
Prendo in considerazione una rete con una matrice di incidenza C
$$ C =\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 1 \\ -1 & -2 \end{pmatrix} $$
Il vettore x = [1 1 1] è P-invariante
$$ x^T \cdot C = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}^T \cdot \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 1 \\ -1 & -2 \end{pmatrix} = [1 \: 1 \: 1] \cdot \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 1 \\ -1 & -2 \end{pmatrix} = [0 \: 0] $$
I supporti del P-vettore sono $$ ||x|| = \{p_1,p_2,p_3\} $$
Il vettore x = [0 1 1] è P-decrescente
$$ x^T \cdot C = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}^T \cdot \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 1 \\ -1 & -2 \end{pmatrix} = [0 \: 1 \: 1] \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 1 \\ -1 & -2 \end{pmatrix} = [-2 \: -1] $$
I supporti del P-vettore sono $$ ||x|| = \{p_2,p_3\} $$
Il vettore x = [1 1 0] è P-crescente
$$ x^T \cdot C = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}^T \cdot \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 1 \\ -1 & -2 \end{pmatrix} = [1 \: 1 \: 0] \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 1 \\ -1 & -2 \end{pmatrix} = [1 \: 2] $$
I supporti del P-vettore sono $$ ||x|| = \{p_1,p_2\} $$
Nota. Per completezza analizzo le combinazioni iniziali dei possibili vettori x. $$ [ 1 \: 0 \:0] \cdot C = [ 2 \: 1] \:\:\: P-crescente $$ $$ [ 0 \: 1 \:0] \cdot C = [ -1 \: 1] \:\:\: $$ $$ [ 0 \: 0 \:1] \cdot C = [ 1 \: -2] \:\:\: $$ $$ [ 1 \: 1 \:0] \cdot C = [ 1 \: 2] \:\:\: P-crescente $$ $$ [ 1 \: 0 \:1] \cdot C = [ 1 \: -1] \:\:\: $$ $$ [ 0 \: 1 \:1] \cdot C = [ 0 \: -1] \:\:\: P-decrescente $$ $$ [ 1 \: 1 \:1] \cdot C = [ 0 \: 0] \:\:\: P-invariante $$ I vettori P-invarianti sono le soluzioni del sistema di equazioni relativo alla matrice di incidenza C $$ \begin{cases} 2p_1-p_2-p_3 = 0 \\ \\ p_1+p_2-2p_3 = 0 \end{cases} $$ Nel sistema utilizzo le variabili pi per indicare in modo più sintetico il numero delle marcature nei singoli posti ossia M(pi).
Esempio 2
Prendo in considerazione una rete con una matrice di incidenza C
$$ C =\begin{pmatrix} 2 & -2 \\ -1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} $$
Il vettore x = [1 1] è T-invariante
$$ C \cdot x = \begin{pmatrix} -2 & 2 \\ -1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} $$
I supporti del T-vettore sono $$ ||y|| = \{t_1,t_2\} $$
Il vettore x = [0 1] è T-crescente
$$ C \cdot x = \begin{pmatrix} -2 & 2 \\ -1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} $$
I supporti del T-vettore sono $$ ||y|| = \{t_2\} $$
Il vettore x = [1 0] è T-decrescente
$$ C \cdot x = \begin{pmatrix} -2 & 2 \\ -1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix} $$
I supporti del T-vettore sono $$ ||y|| = \{t_1\} $$
E così via
