Perché zero elevato a zero è una forma indeterminata
Lo zero elevato a zero è una forma indeterminata perché conduce alla divisione per zero.
Dimostrazione
Considero lo zero elevato a zero
$$ 0^0 $$
Sostituisco l'esponente nullo con una differenza nulla tra due numeri non nulli
$$ 0^0 = 0^{n-m} \ \ \ con \ \ n= m $$
Per la proprietà delle potenze posso riscrivere l'espressione in questo modo equivalente
$$ 0^0 = 0^{n-m} = \frac{0^n}{0^m} $$
Lo zero elevato per qualsiasi esponente non nullo è sempre uguale a zero.
$$ 0^0 = 0^{n-m} = \frac{0^n}{0^m} = \frac{0}{0} $$
Pertanto, lo zero elevato a zero conduce a una divisione per zero.
Poiché la divisione per zero è un'operazione indefinita, lo è anche la potenza zero elevato a zero.
Osservazione critica
Il problema della dimostrazione è che applica una proprietà delle potenze fuori dal suo dominio di validità. La relazione
\[ a^{n-m}=\frac{a^n}{a^m} \]
vale infatti solo per \(a \neq 0 \), perché implica una divisione. Se la si applicasse anche alla base zero, allora si potrebbe scrivere ad esempio
\[ 0^5 = 0^{6-1} = \frac{0^6}{0^1} = \frac00 \]
Si concluderebbe erroneamente che anche \(0^5 \) è indefinito... ma non è vero.
Quindi il problema non riguarda specificamente \( 0^0 \), ma l’uso scorretto della proprietà delle potenze con base nulla.
Dimostrazione alternativa
La dimostrazione corretta non deve partire da \( \frac00 \) come operazione, perché la divisione per zero non è definita.
Bisogna ragionare sui limiti.
Considero una funzione razionale del tipo
\[ \frac{f(x)}{g(x)} \]
dove \( f(x) \to 0 \) e \( g(x) \to 0 \) quando \( x \) tende a un certo valore.
La forma è indeterminata perché, pur avendo sempre numeratore e denominatore che tendono entrambi a zero, il limite può assumere valori diversi.
Ad esempio:
\[ \lim_{x\to 0} \frac{x}{x} = 1 \]
ma
\[ \lim_{x\to 0} \frac{2x}{x} = 2 \]
e ancora:
\[ \lim_{x\to 0} \frac{x^2}{x} = 0 \]
mentre
\[ \lim_{x\to 0} \frac{x}{x^2} = \text{non è finito} \]
Quindi la sola informazione \( f(x)\to 0 \) e \( g(x)\to 0 \) non basta per determinare il valore del limite.
Per questo \( \frac00 \) non è un numero, ma una forma indeterminata nei limiti.
E così via.
