Esercizio studio sui limiti 14
In questo esercizio devo risolvere il limite della funzione per x→∞.
$$ \lim_{x \rightarrow +\infty} \sqrt{x^2+3x-4}-x$$
Il limite è una forma indeterminata infinito meno infinito ∞-∞
$$ \lim_{x \rightarrow +\infty} \sqrt{x^2+3x-4}-x = \infty - \infty $$
Per risolvere il limite devo eliminare la forma indeterminata.
Moltiplico e divido per la somma dei due termini.
$$ \lim_{x \rightarrow +\infty} \sqrt{x^2+3x-4}-x \cdot \frac{\sqrt{x^2+3x-4}+x}{\sqrt{x^2+3x-4}+x} $$
$$ \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{(\sqrt{x^2+3x-4}-x) \cdot (\sqrt{x^2+3x-4)}+x)}{\sqrt{x^2+3x-4}+x}$$
$$ \lim_{x \rightarrow +\infty}\frac{ \sqrt{x^2+3x-4}\sqrt{x^2+3x-4}+x\sqrt{x^2+3x-4}-x\sqrt{x^2+3x-4}-x^2}{\sqrt{x^2+3x-4}+x} $$
$$ \lim_{x \rightarrow +\infty}\frac{ (\sqrt{x^2+3x-4})^2-x^2}{\sqrt{x^2+3x-4}+x} $$
$$ \lim_{x \rightarrow +\infty}\frac{ x^2+3x-4-x^2}{\sqrt{x^2+3x-4}+x} $$
$$ \lim_{x \rightarrow +\infty}\frac{ 3x-4}{\sqrt{x^2+3x-4}+x} $$
Ora la funzione è una funzione fratta ma si verifica un'altra forma indeterminata del tipo ∞/∞
$$ \lim_{x \rightarrow +\infty}\frac{ 3x-4}{\sqrt{x^2+3x-4}+x} = \frac{\infty}{\infty} $$
Per uscire da quest'ultima forma indeterminata fattorizzo il numeratore della funzione fratta per x.
$$ \lim_{x \rightarrow +\infty}\frac{ x(3-\frac{4}{x})}{\sqrt{x^2+3x-4}+x} $$
Poi fattorizzo il denominatore della funzione fratta per x.
$$ \lim_{x \rightarrow +\infty}\frac{ x(3-\frac{4}{x})}{\sqrt{x^2 \cdot (1+\frac{3}{x}-\frac{4}{x^2})}+x} $$
$$ \lim_{x \rightarrow +\infty}\frac{ x(3-\frac{4}{x})}{x \cdot \sqrt{ (1+\frac{3}{x}-\frac{4}{x^2})}+x} $$
$$ \lim_{x \rightarrow +\infty}\frac{ x(3-\frac{4}{x})}{x \cdot ( \sqrt{ (1+\frac{3}{x}-\frac{4}{x^2})}+1)} $$
Quindi elimino la x al numeratore e al denominatore.
$$ \lim_{x \rightarrow +\infty}\frac{ 3-\frac{4}{x}}{ \sqrt{ (1+\frac{3}{x}-\frac{4}{x^2})}+1} $$
In questo modo elimino anche la forma indeterminata ∞/∞.
Ora il limite è calcolabile e converge a un numero finito.
$$ \lim_{x \rightarrow +\infty}\frac{ 3-\frac{4}{x}}{ \sqrt{ (1+\frac{3}{x}-\frac{4}{x^2})}+1} = \frac{3}{2} $$
Il limite della funzione è 3/2.
E così via.
