Esercizio studio del limite 3
In questo esercizio devo risolvere il limite di questa funzione
$$ \lim_{x \rightarrow 9} \frac{3-\sqrt{x}}{9-x} $$
Il dominio della funzione è
$$ D_f [0, 9) \cup (9, +\infty ) $$
Spiegazione. La radice quadrata non può assumere come argomento un numero negativo. Il denominatore della funzione fratta si annulla per x=9. Quindi x=9 non fa parte del dominio della funzione.
Il numero x0=9 è un punto di accumulazione della funzione.
Quindi, posso procedere col calcolo del limite.
$$ \lim_{x \rightarrow 9} \frac{3-\sqrt{x}}{9-x} = \frac{0}{0} $$
Il limite è una forma indeterminata del tipo 0/0.
Cerco di eliminare la forma indeterminata razionalizzando il numeratore.
Moltiplico e divido per il numeratore cambiato di segno 3+√x.
$$ \lim_{x \rightarrow 9} \frac{3-\sqrt{x}}{9-x} \cdot \frac{3+\sqrt{x}}{3+\sqrt{x}} $$
$$ \lim_{x \rightarrow 9} \frac{(3-\sqrt{x}) \cdot (3+\sqrt{x})}{(9-x) \cdot (3+\sqrt{x})} $$
$$ \lim_{x \rightarrow 9} \frac{(9+3\sqrt{x}-3\sqrt{x}-(\sqrt{x})^2)}{(9-x) \cdot (3+\sqrt{x})} $$
$$ \lim_{x \rightarrow 9} \frac{9-x}{(9-x) \cdot (3+\sqrt{x})} $$
Semplifico eliminando 9-x al numeratore e al denominatore
$$ \lim_{x \rightarrow 9} \frac{1}{3+\sqrt{x}} $$
In questo modo ottengo la funzione in una forma equivalente che non presenta la causa della forma indeterminata.
Ora posso calcolare il limite.
$$ \lim_{x \rightarrow 9} \frac{1}{3+\sqrt{x}} = \frac{1}{6} $$
Il limite della funzione per x→9 è 1/6.
Nota. Per eliminare la forma indeterminata 0/0 avrei anche potuto applicare il teorema di L'Hopital. $$ \lim_{x \rightarrow 9} \frac{3-\sqrt{x}}{9-x} = \frac{0}{0} $$ Per eliminare la forma indeterminata 0/0 calcolo la derivata del numeratore e del denominatore. $$ \lim_{x \rightarrow 9} \frac{D[3-\sqrt{x}]}{D[9-x]} = \lim_{x \rightarrow 9} \frac{ - \frac{1}{2 \sqrt{x}} }{-1} = \lim_{x \rightarrow 9} \frac{1}{2 \sqrt{x}} = \frac{1}{6} $$ La soluzione è la stessa.
E così via.
