Esercizio studio del limite 15

Devo risolvere il limite della funzione seguente per x che tende a infinito

$$ \lim_{x \rightarrow +\infty} x+2-\sqrt{x^2+4x+8} $$

Il limite è una forma indeterminata del tipo infinito meno infinito ∞-∞

$$ \lim_{x \rightarrow +\infty} x+2-\sqrt{x^2+4x+8} = \infty - \infty $$

Per uscire dalla forma indeterminata moltiplico e divido per la somma dei termini

$$ \lim_{x \rightarrow +\infty} x+2-\sqrt{x^2+4x+8} \cdot \frac{x+2+\sqrt{x^2+4x+8}}{x+2+\sqrt{x^2+4x+8}} $$

$$ \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{(x+2-\sqrt{x^2+4x+8}) \cdot (x+2+\sqrt{x^2+4x+8})}{x+2+\sqrt{x^2+4x+8}} $$

$$ \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{(x+2)^2 -(\sqrt{x^2+4x+8})^2}{x+2+\sqrt{x^2+4x+8}} $$

$$ \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{(x^2+4x+4) -(x^2+4x+8)}{x+2+\sqrt{x^2+4x+8}} $$

$$ \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{x^2+4x+4 -x^2-4x-8}{x+2+\sqrt{x^2+4x+8}} $$

$$ \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{-4}{x+2+\sqrt{x^2+4x+8}} $$

La forma indeterminata è scomparsa.

Ora il limite è calcolabile.

$$ \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{-4}{x+2+\sqrt{x^2+4x+8}} = \frac{-4}{\infty + \infty} = \frac{-4}{\infty} = 0 $$

Il limite della funzione per x→∞ è zero.

E così via.