Esercizio studio dei limiti 13
In questo esercizio studio il limite per x→-∞ della funzione
$$ \lim_{x \rightarrow -\infty} 2x - \sqrt{4x^2+x} $$
Questo limite può trarre in inganno
Il primo termine 2x tende a -infinito per x→-∞.
Il radicando 4x2+x sembrerebbe una forma indeterminata del tipo ∞-∞ perché 4x2 tende a infinito mentre +x tende a meno infinito.
$$ \lim_{x \rightarrow -\infty} 2x - \sqrt{4x^2+x} = -\infty - \sqrt{\infty - \infty} $$
In realtà, per risolvere il problema mi basta riscrivere l'espressione del limite in questa forma equivalente mettendo in evidenza la x nel radicando
$$ \lim_{x \rightarrow -\infty} 2x - \sqrt{x^2(4+\frac{1}{x})} $$
In questo modo il termine +1/x tende a zero e il radicando tende a +∞.
In alternativa. In un limite per x che tende a più o meno infinito di un polinomio prevale sempre asintoticamente il termine di grado più alto del polinomio. Tutti gli altri si possono ignorare. In questo caso il limite tende a meno infinito e il radicando è un polinomio di grado 2. Quindi, posso considerare il monomio di grado più alto (4x2) del polinomio e ignorare gli altri (x). $$ \lim_{x \rightarrow -\infty} \sqrt{4x^2+x} = \lim_{x \rightarrow -\infty} \sqrt{4x^2} = +\infty $$
In questa forma equivalente il limite iniziale non ha alcuna forma indeterminata ed è facilmente calcolabile.
$$ \lim_{x \rightarrow -\infty} 2x - \sqrt{x^2(4+\frac{1}{x})} = -\infty - (+ \infty ) = -\infty - \infty = -\infty $$
Il limite della funzione per x che tende a meno infinito è -∞.
E così via.
