Integrale di x+2 al cubo
Devo risolvere l'integrale
$$ \int (x+2)^3 \ dx $$
Posso risolvere questo integrale in vari modi
Tecnica 1
Introduco nell'integrale una variabile ausiliaria u=x+2
$$ \int u^3 \ dx $$
Ora l'integrale è una forma elementare facilmente calcolabile
$$ \int u^3 \ dx = \frac{u^{3+1}}{3+1} + c $$
$$ \int u^3 \ dx = \frac{u^{4}}{4} + c $$
Sapendo che u=x+2
$$ \int (x+2)^3 \ dx = \frac{(x+2)^{4}}{4} $$
Quindi la funzione primitiva è
$$ F(x) = \frac{(x+2)^4}{4} + c $$
Verifica. Per verificare la correttezza del calcolo derivo la funzione F(x)=(x+2)4/4+c. $$ D [ \frac{(x+2)^4}{4} ] = \frac{1}{4} \cdot D[(x+2)^4] = \frac{1}{4} \cdot 4(x+2)^3 \cdot 1 + 0 = (x+2)^3 $$
Tecnica 2
Questo integrale
$$ \int (x+2)^3 \ dx $$
rientra nella tipologia f’(x)f(x)^n con f(x)=x+2, f’(x)=1 e n=3
$$ \int f'(x) \cdot [ f(x) ]^n \ dx = \frac{[f(x)]^{n+1}}{n+1} + c$$
Calcolo l’integrale seguendo questa tecnica di risoluzione dell'integrale
$$ \int (x+2)^3 \ dx = \frac{(x+2)^{3+1}}{3+1} + c $$
$$ \int (x+2)^3 \ dx = \frac{(x+2)^4}{4} + c $$
Quindi la funzione primitiva è
$$ F(x) = \frac{(x+2)^4}{4} + c $$
E' lo stesso risultato già conseguito con la prima tecnica
E così via.
