Esercizio calcolo integrale 3

Devo calcolare l'integrale

$$ \int x \cdot \cos x \ dx $$

Questo integrale si calcola facilmente con l'integrazione per parti con g'(x)=cos x e f(x)=x.

$$ \int f(x) \cdot g'(x) = f(x) \cdot g(x) - \int f'(x) \cdot g(x) dx $$

La primitiva di g'(x)=cos x è la funzione g(x)=sin x

$$ \int x \cdot \cos x = x \cdot \sin x - \int f'(x) \cdot \sin x dx $$

La derivata di f(x)=x è la funzione f'(x)=1, quindi:

$$ \int x \cdot \cos x = x \cdot \sin x - \int 1 \cdot \sin x dx $$

$$ \int x \cdot \cos x = x \cdot \sin x - \int \sin x dx $$

Ora l'integrale è immediato.

L'integrale di sin(x) si risolve con la primitiva -cos(x)+c

$$ \int x \cdot \cos x = x \cdot \sin x - ( - \cos(x) )+c $$

Pertanto la soluzione dell'integrale è

$$ \int x \cdot \cos x = x \cdot \sin x + \cos(x) +c $$

E così via