La formula di MacLaurin della funzione seno

Lo sviluppo della serie di MacLaurin della funzione seno è $$ \sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - ... + \frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!} + o(x^{2n+1}) $$

Dimostrazione

Considero la formula di MacLaurin

$$ f(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(0)}{k!} \cdot x^k + o(x^n) $$

In questo caso f(x)=sin(x)

Per k=0

Sapendo che la funzione f⁽⁰⁾=f(x)=sin(x)

$$ \frac{f^{(0)}(0)}{0!} \cdot x^0 = \frac{\sin(0)}{0!} \cdot x^0= \frac{0}{1} \cdot 1 = 0 $$

Quindi il primo termine della serie di MacLaurin è zero

$$ \sin(x) = 0 + o[x^0] = 0+o[1] $$

Per k=1

La derivata prima del seno è cos(x)

$$ \frac{f^{(1)}(0)}{1!} \cdot x^1 = \frac{D[\sin(0)]}{1!} \cdot x^1 = \frac{\cos(0)}{1} \cdot x = \frac{1}{1} \cdot x = x $$

Quindi il secondo termine della serie di MacLaurin di ordine 1 è x

$$ \sin(x) = 0 + x + o[x^1] $$

Per k=2

La derivata seconda del seno è -sin(x)

$$ \frac{f^{(2)}(0)}{2!} \cdot x^2 = \frac{D^{(2)}\sin(0)}{2!} \cdot x^2 = \frac{-\sin(0)}{2!} \cdot x^2 = \frac{0}{2} \cdot x^2 = 0 $$

Quindi il terzo termine della serie di MacLaurin di ordine 2 è zero

$$ \sin(x) = 0 + x - 0 + o[x^2] $$

Per k=3

La derivata terza del seno è -cos(x)

$$ \frac{f^{(3)}(0)}{3!} \cdot x^3 = \frac{D^{(3)}\sin(0)}{3!} \cdot x^3 = \frac{-\cos(0)}{3!} \cdot x^3 = \frac{-1}{3!} \cdot x^3 $$

Quindi il quarto termine della serie di MacLaurin di ordine 3 è -1/3! x³

$$ \sin(x) = 0 + x - 0 - \frac{1}{3!} \cdot x^3 + o[x^3] $$

Per k=4

La derivata quarta del seno è sin(x)

$$ \frac{f^{(4)}(0)}{4!} \cdot x^4 = \frac{D^{(4)}\sin(0)}{4!} \cdot x^4 = \frac{\sin(0)}{4!} \cdot x^4 = 0 \cdot x^4 = 0 $$

Quindi il quinto termine della serie di MacLaurin di ordine 4 è zero

$$ \sin(x) = 0 + x - 0 - \frac{1}{3!} \cdot x^3 + 0 + o[x^4] $$

Per k=5

La derivata quinta del seno è cos(x)

$$ \frac{f^{(5)}(0)}{5!} \cdot x^5 = \frac{D^{(5)}\sin(0)}{5!} \cdot x^5 = \frac{\cos(0)}{5!} \cdot x^5 = \frac{1}{5!} \cdot x^5 $$

Quindi il sesto termine della serie di MacLaurin di ordine 5 è

$$ \sin(x) = 0 + x - 0 - \frac{1}{3!} \cdot x^3 + 0 + \frac{1}{5!} \cdot x^5 + o[x^5] $$

Per k=6

Come si può notare i termini della serie si alternano con valori nulli.

Quindi per k=6 la serie di MacLaurin di ordine 6 è uguale alla precedente, salvo che per un "o piccolo" o(x⁶) di ordine sei

$$ \sin(x) = 0 + x - 0 - \frac{1}{3!} \cdot x^3 + 0 + \frac{1}{5!} \cdot x^5 + 0 + o[x^6] $$

Pertanto, la serie di MacLaurin di ordine 6 della funzione seno è

$$ \sin(x) = x - \frac{1}{3!} \cdot x^3 + \frac{1}{5!} \cdot x^5 + o[x^6] $$

Dal punto di vista grafico

E così via.